与えられた4つの問題に答えます。 (1) $\sqrt{8-a}$ が自然数となるような自然数 $a$ の値をすべて求める。 (2) $\sqrt{49-3n}$ が正の整数となるような正の整数 $n$ の値をすべて求める。 (3) $\sqrt{\frac{45n}{2}}$ が整数となるような自然数 $n$ のうち、最も小さいものを求める。 (4) $\frac{n}{15}$ と $\sqrt{3n}$ がともに整数となるような最も小さい自然数 $n$ の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた4つの問題に答えます。

(1) $\sqrt{8-a}$ が自然数となるような自然数 $a$ の値をすべて求める。

(2) $\sqrt{49-3n}$ が正の整数となるような正の整数 $n$ の値をすべて求める。

(3) $\sqrt{\frac{45n}{2}}$ が整数となるような自然数 $n$ のうち、最も小さいものを求める。

(4) $\frac{n}{15}$ と $\sqrt{3n}$ がともに整数となるような最も小さい自然数 $n$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{8-a}$ が自然数になるためには、$8-a$ は0以上の平方数である必要があります。つまり、$8-a = 0, 1, 4$ です。

$8-a=0$ のとき、$a=8$

$8-a=1$ のとき、$a=7$

$8-a=4$ のとき、$a=4$

したがって、$a$ の値は $4, 7, 8$ です。

(2) $\sqrt{49-3n}$ が正の整数になるためには、$49-3n$ は正の平方数である必要があります。つまり、$49-3n = 1, 4, 9, 16, 25, 36$ です。

$49-3n=1$ のとき、$3n=48$、$n=16$

$49-3n=4$ のとき、$3n=45$、$n=15$

$49-3n=9$ のとき、$3n=40$、$n=\frac{40}{3}$ (整数ではないので不適)

$49-3n=16$ のとき、$3n=33$、$n=11$

$49-3n=25$ のとき、$3n=24$、$n=8$

$49-3n=36$ のとき、$3n=13$、$n=\frac{13}{3}$ (整数ではないので不適)

したがって、$n$ の値は $8, 11, 15, 16$ です。

(3) $\sqrt{\frac{45n}{2}} = \sqrt{\frac{9 \cdot 5n}{2}} = 3\sqrt{\frac{5n}{2}}$ が整数となるためには、$\frac{5n}{2}$ が平方数である必要があります。つまり、$\frac{5n}{2} = k^2$ ( $k$ は整数) となる必要があります。$5n = 2k^2$ より、$n = \frac{2k^2}{5}$ となります。$n$ が整数であるためには、$k^2$ は 5 の倍数である必要があります。したがって、$k$ は 5 の倍数である必要があります。$k=5$ とすると、$n = \frac{2 \cdot 5^2}{5} = \frac{50}{5} = 10$ となります。

したがって、$n$ の値は $10$ です。

(4) $\frac{n}{15}$ が整数となるためには、$n$ は 15 の倍数である必要があります。つまり、$n=15k$ ( $k$ は整数) となります。また、$\sqrt{3n} = \sqrt{3 \cdot 15k} = \sqrt{45k} = 3\sqrt{5k}$ が整数となるためには、$5k$ が平方数である必要があります。したがって、$k=5m^2$ ( $m$ は整数) となる必要があります。したがって、$n = 15k = 15 \cdot 5m^2 = 75m^2$ となります。最も小さい自然数 $n$ を求めるためには、$m=1$ とすればよいので、$n = 75$ となります。

したがって、$n$ の値は $75$ です。

3. 最終的な答え

(1) $a = 4, 7, 8$

(2) $n = 8, 11, 15, 16$

(3) $n = 10$

(4) $n = 75$