問題は以下の2つです。 * 800の正の約数のうち、5の倍数は何個あるか。 * 800の正の約数の総和はいくつか。

1. 問題の内容

問題は以下の2つです。

* 800の正の約数のうち、5の倍数は何個あるか。

* 800の正の約数の総和はいくつか。

2. 解き方の手順

まず800を素因数分解します。

$800 = 2^5 \times 5^2$

(1) 800の正の約数のうち、5の倍数の個数

800の約数は、$2^a \times 5^b$ (ただし、$0 \leq a \leq 5$、$0 \leq b \leq 2$)の形で表されます。

このうち、5の倍数となるのは、$b \geq 1$ のときなので、$b=1$または$b=2$の場合です。

$a$の取りうる値は0から5の6通り、$b$の取りうる値は1と2の2通りなので、5の倍数の個数は、$6 \times 2 = 12$個です。

(2) 800の正の約数の総和

800の正の約数の総和は、

$(1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5)(1 + 5 + 5^2)$

で計算できます。

$1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63$

$1 + 5 + 5^2 = 1 + 5 + 25 = 31$

よって、800の正の約数の総和は、$63 \times 31 = 1953$です。

3. 最終的な答え

800の正の約数のうち、5の倍数は12個です。

800の正の約数の総和は1953です。