126と420の最大公約数を素因数分解を利用して求め、さらに公約数の個数を求める問題です。

1. 問題の内容

126と420の最大公約数を素因数分解を利用して求め、さらに公約数の個数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、126と420をそれぞれ素因数分解します。

画像にあるように、割り算を繰り返して素因数分解を行う方法で進めます。

126 = 2 x 3 x 3 x 7 = $2 \times 3^2 \times 7$

420 = 2 x 2 x 3 x 5 x 7 = $2^2 \times 3 \times 5 \times 7$

次に、それぞれの素因数分解の結果から、共通の素因数とその最小の指数を見つけます。

共通の素因数は、2、3、7です。それぞれの最小の指数は、

2：指数1

3：指数1

7：指数1

したがって、最大公約数は $2^1 \times 3^1 \times 7^1 = 2 \times 3 \times 7 = 42$ となります。

次に、公約数の個数を求めます。最大公約数の約数が、元の数の公約数となるので、最大公約数42の約数の個数を求めます。

42 = $2^1 \times 3^1 \times 7^1$ なので、約数の個数は、各素因数の指数に1を足して掛け合わせたものになります。

(1+1) x (1+1) x (1+1) = 2 x 2 x 2 = 8個

3. 最終的な答え

最大公約数：42

公約数の個数：8個