$\triangle ABC$において、$AB=4$, $BC=2\sqrt{5}$, $\angle ABC=90^\circ$とする。 (1) 円Oが直線ACに接するとき、$\triangle ABC$の内接円に関する問題を解く。

はい、この数学の問題を解きましょう。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$において、$AB=4$, $BC=2\sqrt{5}$, $\angle ABC=90^\circ$とする。

(1) 円Oが直線ACに接するとき、$\triangle ABC$の内接円に関する問題を解く。

2. 解き方の手順

まず、ACの長さを計算します。$\triangle ABC$は直角三角形なので、ピタゴラスの定理より、$AC^2 = AB^2 + BC^2$

$AC^2 = 4^2 + (2\sqrt{5})^2 = 16 + 20 = 36$

$AC = \sqrt{36} = 6$

次に、円OがACに接するとき、$\triangle ABC$の内心が直線AO上にあることがわかります。（内心は角の二等分線の交点であるため）

次に、$BO:OC$を求めます。円Oは直線ACに接しているので、点OからACに下ろした垂線の足は、円Oの中心と接点です。

このとき、円Oの半径をrとすると、$OB = r$となります。

また、$OC = BC - BO = 2\sqrt{5} - r$となります。

$\triangle ABC$の面積は、$\frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 4 \times 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$

また、$\triangle ABC$の面積は、$\frac{1}{2}r(AB+BC+AC) = \frac{1}{2}r(4+2\sqrt{5}+6) = \frac{1}{2}r(10+2\sqrt{5}) = r(5+\sqrt{5})$

したがって、$4\sqrt{5} = r(5+\sqrt{5})$

$r = \frac{4\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}(5-\sqrt{5})}{(5+\sqrt{5})(5-\sqrt{5})} = \frac{20\sqrt{5}-20}{25-5} = \frac{20(\sqrt{5}-1)}{20} = \sqrt{5}-1$

$OB = r = \sqrt{5}-1$

$OC = 2\sqrt{5} - r = 2\sqrt{5} - (\sqrt{5}-1) = \sqrt{5} + 1$

$BO:OC = (\sqrt{5}-1):(\sqrt{5}+1) = \frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1} = \frac{(\sqrt{5}-1)^2}{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)} = \frac{5-2\sqrt{5}+1}{5-1} = \frac{6-2\sqrt{5}}{4} = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$

$BO:OC = \sqrt{5}-1 : \sqrt{5}+1$

円Oの半径は $r = \sqrt{5}-1$ です。

3. 最終的な答え

ア: 6

イ: 内心 (1)

ウ: $\sqrt{5}-1$

エ: $\sqrt{5}+1$

オ: $\sqrt{5}$

カ: - 1

キ: $\sqrt{5}-1$