底面の半径が1、高さが $\sqrt{3}/6$ の円柱がある。底面の直径ABを含み、底面と $\pi/6$ の角をなす平面で円柱を切り取った、切り取られた小さい方の立体の体積$V$を求めよ。

1. 問題の内容

底面の半径が1、高さが $\sqrt{3}/6$ の円柱がある。底面の直径ABを含み、底面と $\pi/6$ の角をなす平面で円柱を切り取った、切り取られた小さい方の立体の体積$V$を求めよ。

2. 解き方の手順

円柱を底面に垂直な平面で切ったときの断面積を考えます。底面上の中心を原点とし、ABをx軸とする座標系を考えます。

x座標を$x$とすると、$-1 \le x \le 1$です。

このときのy座標を$y$とすると、$y = \sqrt{1-x^2}$となります。

このときの高さは$y \tan(\pi/6)$となります。$\tan(\pi/6) = 1/\sqrt{3}$なので、高さは$y/\sqrt{3} = \sqrt{1-x^2}/\sqrt{3}$となります。

したがって、断面積は$2 \times \frac{1}{2}y \times \frac{y}{\sqrt{3}} = \frac{y^2}{\sqrt{3}} = \frac{1-x^2}{\sqrt{3}}$となります。

立体の体積は、この断面積をxについて-1から1まで積分することで求められます。

$V = \int_{-1}^{1} \frac{1-x^2}{\sqrt{3}} dx = \frac{1}{\sqrt{3}} \int_{-1}^{1} (1-x^2) dx = \frac{1}{\sqrt{3}} [x - \frac{x^3}{3}]_{-1}^{1} = \frac{1}{\sqrt{3}} [(1-\frac{1}{3}) - (-1 - \frac{-1}{3})] = \frac{1}{\sqrt{3}} [\frac{2}{3} - (-\frac{2}{3})] = \frac{1}{\sqrt{3}} \times \frac{4}{3} = \frac{4}{3\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{9}$

3. 最終的な答え

$\frac{4\sqrt{3}}{9}$