ベクトル $\vec{a} = (1, -1)$ に垂直な単位ベクトル $\vec{e}$ を求めよ。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (1, -1)$ に垂直な単位ベクトル $\vec{e}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

ベクトル $\vec{a}$ に垂直なベクトルは、$\vec{a}$ の成分を入れ替えて片方の符号を変えることで得られます。つまり、ベクトル $\vec{b} = (1, 1)$ は $\vec{a}$ に垂直です。実際、内積を計算すると、$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(1) + (-1)(1) = 1 - 1 = 0$ となり、垂直であることがわかります。

次に、$\vec{b}$ を単位ベクトルにする必要があります。$\vec{b}$ の大きさは $\|\vec{b}\| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ です。

したがって、$\vec{b}$ をその大きさで割ることで単位ベクトル $\vec{e}$ が得られます。

$\vec{e} = \frac{\vec{b}}{\|\vec{b}\|} = \frac{(1, 1)}{\sqrt{2}} = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$

また、$-\vec{e}$ も $\vec{a}$ に垂直な単位ベクトルであるため、$\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ も解となります。

3. 最終的な答え

求める単位ベクトルは $\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ と $\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ です。