図形の回転体の体積を求める問題です。図は、縦12cm、横9cmの長方形の上に、半径9cmの半円が乗った図形です。この図形を直線lを軸として1回転させたときにできる立体の体積を求めます。円周率は$\pi$とします。

1. 問題の内容

図形の回転体の体積を求める問題です。図は、縦12cm、横9cmの長方形の上に、半径9cmの半円が乗った図形です。この図形を直線lを軸として1回転させたときにできる立体の体積を求めます。円周率は$\pi$とします。

2. 解き方の手順

この立体は、長方形を回転させた円柱と、半円を回転させた半球が組み合わさった形になります。

まず、円柱の体積を計算します。

円柱の底面積は、$\pi r^2 = \pi \times 9^2 = 81\pi$ ($cm^2$)です。

円柱の高さは12cmなので、円柱の体積は、$81\pi \times 12 = 972\pi$ ($cm^3$)となります。

次に、半球の体積を計算します。

球の体積は$\frac{4}{3}\pi r^3$で求められます。

半径9cmなので、球の体積は、$\frac{4}{3}\pi \times 9^3 = \frac{4}{3}\pi \times 729 = 972\pi$ ($cm^3$)となります。

半球なので、この半分の$972\pi \div 2 = 486\pi$ ($cm^3$)が半球の体積となります。

最後に、円柱の体積と半球の体積を足し合わせます。

$972\pi + 486\pi = 1458\pi$ ($cm^3$)

3. 最終的な答え

$1458\pi$ $cm^3$