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円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB=3$, $BC=4$, $CD=5$, $DA=6$ のとき、以下の値を求めます。 (1) ACの長さ (2) $\cos{B}$ の値 (3) 四角形の面積 (4) 外接円の半径R

幾何学円に内接する四角形余弦定理正弦定理面積三角比
2025/8/12

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=3AB=3, BC=4BC=4, CD=5CD=5, DA=6DA=6 のとき、以下の値を求めます。
(1) ACの長さ
(2) cos⁡B\cos{B} の値
(3) 四角形の面積
(4) 外接円の半径R

2. 解き方の手順

(1) ACの長さ
余弦定理を2回使ってACの長さを求めます。
三角形ABCにおいて、
AC2=AB2+BC2−2⋅AB⋅BC⋅cos⁡BAC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos{B}
AC2=32+42−2⋅3⋅4⋅cos⁡BAC^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos{B}
AC2=25−24cos⁡BAC^2 = 25 - 24 \cos{B} ...(1)
三角形ADCにおいて、
AC2=AD2+CD2−2⋅AD⋅CD⋅cos⁡DAC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos{D}
AC2=62+52−2⋅6⋅5⋅cos⁡DAC^2 = 6^2 + 5^2 - 2 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \cos{D}
AC2=61−60cos⁡DAC^2 = 61 - 60 \cos{D}
円に内接する四角形なので、B+D=180∘B + D = 180^\circ、つまり、D=180∘−BD = 180^\circ - B です。
cos⁡D=cos⁡(180∘−B)=−cos⁡B\cos{D} = \cos{(180^\circ - B)} = -\cos{B}
AC2=61+60cos⁡BAC^2 = 61 + 60 \cos{B} ...(2)
(1)と(2)より、
25−24cos⁡B=61+60cos⁡B25 - 24 \cos{B} = 61 + 60 \cos{B}
84cos⁡B=−3684 \cos{B} = -36
cos⁡B=−3684=−37\cos{B} = -\frac{36}{84} = -\frac{3}{7}
これを(1)に代入すると、
AC2=25−24⋅(−37)AC^2 = 25 - 24 \cdot (-\frac{3}{7})
AC2=25+727=175+727=2477AC^2 = 25 + \frac{72}{7} = \frac{175 + 72}{7} = \frac{247}{7}
AC=2477=17297AC = \sqrt{\frac{247}{7}} = \frac{\sqrt{1729}}{7}
(2) cos⁡B\cos{B} の値
上記より、cos⁡B=−37\cos{B} = -\frac{3}{7}
(3) 四角形の面積
sin⁡2B+cos⁡2B=1\sin^2{B} + \cos^2{B} = 1 より
sin⁡2B=1−(−37)2=1−949=4049\sin^2{B} = 1 - (-\frac{3}{7})^2 = 1 - \frac{9}{49} = \frac{40}{49}
sin⁡B=4049=2107\sin{B} = \sqrt{\frac{40}{49}} = \frac{2\sqrt{10}}{7} （0<B<180∘0 < B < 180^\circ より sin⁡B>0\sin{B} > 0）
四角形ABCDの面積は、三角形ABCと三角形ADCの面積の和で求められます。
四角形ABCDの面積 = 12AB⋅BC⋅sin⁡B+12AD⋅CD⋅sin⁡D\frac{1}{2} AB \cdot BC \cdot \sin{B} + \frac{1}{2} AD \cdot CD \cdot \sin{D}
=12⋅3⋅4⋅2107+12⋅6⋅5⋅sin⁡(180∘−B)= \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 \cdot \frac{2\sqrt{10}}{7} + \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 \cdot \sin{(180^\circ - B)}
=12107+302⋅sin⁡B=12107+15⋅2107= \frac{12\sqrt{10}}{7} + \frac{30}{2} \cdot \sin{B} = \frac{12\sqrt{10}}{7} + 15 \cdot \frac{2\sqrt{10}}{7}
=12107+30107=42107=610= \frac{12\sqrt{10}}{7} + \frac{30\sqrt{10}}{7} = \frac{42\sqrt{10}}{7} = 6\sqrt{10}
(4) 外接円の半径R
正弦定理より、
ACsin⁡B=2R\frac{AC}{\sin{B}} = 2R
R=AC2sin⁡B=172972⋅2107=1729410=1729040R = \frac{AC}{2\sin{B}} = \frac{\frac{\sqrt{1729}}{7}}{2 \cdot \frac{2\sqrt{10}}{7}} = \frac{\sqrt{1729}}{4\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{17290}}{40}

3. 最終的な答え

(1) AC=17297AC = \frac{\sqrt{1729}}{7}
(2) cos⁡B=−37\cos{B} = -\frac{3}{7}
(3) 四角形の面積 = 6106\sqrt{10}
(4) R=1729040R = \frac{\sqrt{17290}}{40}

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