円 $x^2 + y^2 = 4$ をCとします。以下の条件を満たす円の方程式を求めます。 (1) 中心が点(3, 4)で、円Cに外接する円 $C_1$ (2) 中心が点($\sqrt{2}$, -1)で、円Cに内接する円 $C_2$

はい、承知いたしました。問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 4$ をCとします。以下の条件を満たす円の方程式を求めます。

(1) 中心が点(3, 4)で、円Cに外接する円 $C_1$

(2) 中心が点($\sqrt{2}$, -1)で、円Cに内接する円 $C_2$

2. 解き方の手順

円Cの中心は原点(0, 0)で、半径は2です。

(1) 円$C_1$について

* 中心間の距離を求めます。円Cの中心(0, 0)と円$C_1$の中心(3, 4)の距離は、$\sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$です。

* 円Cと円$C_1$が外接するため、中心間距離は半径の和に等しくなります。円$C_1$の半径を$r_1$とすると、$2 + r_1 = 5$。したがって、$r_1 = 3$です。

* 円$C_1$の方程式は、中心(3, 4)、半径3なので、$(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 3^2$。すなわち、$(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 9$となります。

(2) 円$C_2$について

* 中心間の距離を求めます。円Cの中心(0, 0)と円$C_2$の中心($\sqrt{2}$, -1)の距離は、$\sqrt{(\sqrt{2}-0)^2 + (-1-0)^2} = \sqrt{2 + 1} = \sqrt{3}$です。

* 円Cと円$C_2$が内接するため、中心間距離は半径の差の絶対値に等しくなります。円$C_2$の半径を$r_2$とすると、$|2 - r_2| = \sqrt{3}$となります。

* $2 - r_2 = \sqrt{3}$の場合、$r_2 = 2 - \sqrt{3}$

* $r_2 - 2 = \sqrt{3}$の場合、$r_2 = 2 + \sqrt{3}$

* 円 $C_2$ は円 C に内接するので、$r_2 < 2 + \sqrt{3}$ になります。したがって、$r_2 = 2 - \sqrt{3}$が適しています。

* 円$C_2$の方程式は、中心($\sqrt{2}$, -1)、半径$2 - \sqrt{3}$なので、$(x - \sqrt{2})^2 + (y + 1)^2 = (2 - \sqrt{3})^2$。すなわち、$(x - \sqrt{2})^2 + (y + 1)^2 = 7 - 4\sqrt{3}$となります。

3. 最終的な答え

(1) 円$C_1$の方程式： $(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 9$

(2) 円$C_2$の方程式： $(x - \sqrt{2})^2 + (y + 1)^2 = 7 - 4\sqrt{3}$