座標平面上の2点 $A(3, 2)$ と $B(1, -2)$ を通る円 $C: x^2 + y^2 - 8x + ay + b = 0$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) $a$ と $b$ の値を求めます。 (2) 円 $C$ の中心の座標と半径を求め、点 $A$ における円 $C$ の接線の方程式を求めます。 (3) 直線 $AB$ と円 $C$ で囲まれた2つの領域のうち、直線 $AB$ の上側の部分の領域を $D$ とするとき、領域 $D$ を動く点 $(x, y)$ に対し、 $x - y$ の最大値と最小値を求めます。

1. 問題の内容

座標平面上の2点 $A(3, 2)$ と $B(1, -2)$ を通る円 $C: x^2 + y^2 - 8x + ay + b = 0$ について、以下の問いに答える問題です。

(1) $a$ と $b$ の値を求めます。

(2) 円 $C$ の中心の座標と半径を求め、点 $A$ における円 $C$ の接線の方程式を求めます。

(3) 直線 $AB$ と円 $C$ で囲まれた2つの領域のうち、直線 $AB$ の上側の部分の領域を $D$ とするとき、領域 $D$ を動く点 $(x, y)$ に対し、 $x - y$ の最大値と最小値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 点 $A(3, 2)$ と $B(1, -2)$ が円 $C$ 上にあるので、それぞれの座標を円 $C$ の方程式に代入します。

$A(3, 2)$ を代入すると: $3^2 + 2^2 - 8(3) + a(2) + b = 0 \Rightarrow 9 + 4 - 24 + 2a + b = 0 \Rightarrow 2a + b = 11$

$B(1, -2)$ を代入すると: $1^2 + (-2)^2 - 8(1) + a(-2) + b = 0 \Rightarrow 1 + 4 - 8 - 2a + b = 0 \Rightarrow -2a + b = 3$

この2つの式を連立して解きます。

$2a + b = 11$ と $-2a + b = 3$ を足すと $2b = 14 \Rightarrow b = 7$

$b = 7$ を $2a + b = 11$ に代入すると $2a + 7 = 11 \Rightarrow 2a = 4 \Rightarrow a = 2$

したがって、$a = 2$, $b = 7$ です。

(2) 円 $C$ の方程式は $x^2 + y^2 - 8x + 2y + 7 = 0$ です。

平方完成を行うと、 $(x^2 - 8x) + (y^2 + 2y) + 7 = 0 \Rightarrow (x^2 - 8x + 16) + (y^2 + 2y + 1) + 7 - 16 - 1 = 0 \Rightarrow (x - 4)^2 + (y + 1)^2 = 10$

したがって、円 $C$ の中心は $(4, -1)$ であり、半径は $\sqrt{10}$ です。

点 $A(3, 2)$ における円 $C$ の接線の方程式を求めます。

円の中心を $O(4, -1)$ とすると、直線 $OA$ の傾きは $\frac{2 - (-1)}{3 - 4} = \frac{3}{-1} = -3$ です。

接線は直線 $OA$ に垂直なので、接線の傾きは $\frac{1}{3}$ です。

点 $A(3, 2)$ を通り傾きが $\frac{1}{3}$ の直線の方程式は $y - 2 = \frac{1}{3}(x - 3) \Rightarrow y = \frac{1}{3}x - 1 + 2 \Rightarrow y = \frac{1}{3}x + 1$

(3) 直線 $AB$ の方程式を求めます。

$A(3, 2)$ と $B(1, -2)$ を通る直線の傾きは $\frac{2 - (-2)}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2$ です。

直線 $AB$ の方程式は $y - 2 = 2(x - 3) \Rightarrow y = 2x - 6 + 2 \Rightarrow y = 2x - 4$ です。

領域 $D$ は、円 $C: (x - 4)^2 + (y + 1)^2 \le 10$ と直線 $y \ge 2x - 4$ で囲まれた領域です。

$k = x - y$ とおくと $y = x - k$ となり、この直線が領域 $D$ と共有点を持つときの $k$ の最大値と最小値を求めます。

$y = x - k$ を円の方程式に代入すると $(x - 4)^2 + (x - k + 1)^2 = 10$

$(x - 4)^2 + (x - (k - 1))^2 = 10 \Rightarrow x^2 - 8x + 16 + x^2 - 2(k - 1)x + (k - 1)^2 = 10$

$2x^2 - (8 + 2(k - 1))x + 16 + (k - 1)^2 - 10 = 0 \Rightarrow 2x^2 - (2k + 6)x + k^2 - 2k + 7 = 0$

判別式 $D = (2k + 6)^2 - 4(2)(k^2 - 2k + 7) = 0$

$4k^2 + 24k + 36 - 8k^2 + 16k - 56 = 0 \Rightarrow -4k^2 + 40k - 20 = 0 \Rightarrow k^2 - 10k + 5 = 0$

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 20}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{80}}{2} = \frac{10 \pm 4\sqrt{5}}{2} = 5 \pm 2\sqrt{5}$

$k$ の最大値は $5 + 2\sqrt{5}$、最小値は $5 - 2\sqrt{5}$ です。

また、直線 $y=x-k$ が直線 $y=2x-4$ に一致するとき、$x-k=2x-4$ より、$x = 4-k$ となる。この直線が領域 $D$ と接するとき，$k=5 \pm 2\sqrt{5}$ である。 $x-y$ は $(3,2)$ を通るとき $3-2 = 1$ となるので、最大値は$5+2\sqrt{5}$ ではない。

領域 D 上を動く点(x, y) に対し x-y が最大となるのは点 B(1, -2) の時で、最大値は $1 - (-2) = 3$

領域 D 上を動く点(x, y) に対し x-y が最小となるのは点 A(3, 2) の時ではないので、接点から判断する。

3. 最終的な答え

(1) $a = 2$, $b = 7$

(2) 中心 $(4, -1)$, 半径 $\sqrt{10}$, 接線 $y = \frac{1}{3}x + 1$

(3) 最大値 $3$, 最小値 $5 - 2\sqrt{5}$