半径が $3$ で、弧の長さが $4\pi$ である扇形の中心角と面積を求めます。

1. 問題の内容

半径が $3$ で、弧の長さが $4\pi$ である扇形の中心角と面積を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 中心角を求める。

扇形の弧の長さ $l$ は、半径 $r$ と中心角 $\theta$ （ラジアン）を用いて $l = r\theta$ と表されます。

$l = 4\pi$, $r = 3$ を代入して $\theta$ を求めます。

$4\pi = 3\theta$

$\theta = \frac{4\pi}{3}$

(2) 面積を求める。

扇形の面積 $S$ は、$S = \frac{1}{2}r^2\theta$ で計算できます。

$r = 3$, $\theta = \frac{4\pi}{3}$ を代入して $S$ を求めます。

$S = \frac{1}{2} \times 3^2 \times \frac{4\pi}{3}$

$S = \frac{1}{2} \times 9 \times \frac{4\pi}{3} = \frac{36\pi}{6}$

$S = 6\pi$

3. 最終的な答え

中心角: $\frac{4\pi}{3}$ ラジアン

面積: $6\pi$