正五角形 ABCDE が与えられており、その一辺の長さは1です。ACとBEの交点をFとし、BEの長さを $x$ とします。 (1) ∠BAE, ∠CAD, BF, $x$ を求める。 (2) cos∠CAD, △ACD の面積を求める。

1. 問題の内容

正五角形 ABCDE が与えられており、その一辺の長さは1です。ACとBEの交点をFとし、BEの長さを $x$ とします。

(1) ∠BAE, ∠CAD, BF, $x$ を求める。

(2) cos∠CAD, △ACD の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 正五角形の内角の和は $(5-2) \times 180^\circ = 540^\circ$なので、一つの内角は $540^\circ / 5 = 108^\circ$ です。したがって、∠BAE = $108^\circ$ です。(ア)

△ABE において、∠AEB = ∠ABE です。∠BAE = $108^\circ$ なので、∠AEB = ∠ABE = $(180^\circ - 108^\circ) / 2 = 36^\circ$ です。

∠BAC = ∠BCA = $(180^\circ - 108^\circ) / 2 = 36^\circ$ です。よって、∠CAD = ∠BAD - ∠BAC = $108^\circ - 36^\circ - 36^\circ = 36^\circ$ です。(ウ)

∠EAF = ∠BAC = $36^\circ$。したがって∠EAF = ∠EFA= 36°である。(エ)

△EAFは二等辺三角形です。BF = BE - FE = $x$ - 1。(オ)

△ABF において、∠ABF=∠ABE = 36°，∠BAF = ∠BAC= 36°なので二等辺三角形。よってAF =BF = x -1 である.

△ABE と △BFA が相似であるから、AB : BE = BF : AB。よって、

$1 : x = x - 1 : 1$

$x(x-1) = 1$

$x^2 - x - 1 = 0$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(-1)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

$x > 0$ なので $x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ (カ, キ, ク)

(2) △ACD において、AC=AD=$x$ であり、CD=1 である。

余弦定理より、

$\cos∠CAD = \frac{AC^2 + AD^2 - CD^2}{2 \times AC \times AD}$

$\cos∠CAD = \frac{x^2 + x^2 - 1}{2x^2} = \frac{2x^2 - 1}{2x^2}$ (ケ, コ, サ)

△ACD の面積は

$S = \frac{1}{2} AC \times AD \times \sin ∠CAD = \frac{1}{2} x^2 \sin 36^\circ$

$\cos∠CAD = \frac{2x^2 - 1}{2x^2}$

$\sin^2∠CAD = 1 - \cos^2∠CAD = 1 - \frac{(2x^2 - 1)^2}{4x^4} = \frac{4x^4 - (4x^4 - 4x^2 + 1)}{4x^4} = \frac{4x^2 - 1}{4x^4}$

$\sin ∠CAD = \sqrt{\frac{4x^2 - 1}{4x^4}} = \frac{\sqrt{4x^2 - 1}}{2x^2}$

$S = \frac{1}{2} x^2 \frac{\sqrt{4x^2 - 1}}{2x^2} = \frac{\sqrt{4x^2 - 1}}{4}$

$x^2 = x + 1 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

$4x^2 = 6 + 2\sqrt{5}$

$4x^2 - 1 = 5 + 2\sqrt{5}$

$S = \frac{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}{4}$ (シ, ス, セ)

3. 最終的な答え

(1)

ア: $108^\circ$

イ: $36^\circ$

ウ: $36^\circ$

エ: 二等辺

オ: 1

x= (1 + √5)/2

(2)

cos∠CAD= (2x^2 - 1)/(2x^2)

△ACDの面積は√4x^2 - 1 /4