$xyz$空間において、楕円$C: \frac{x^2}{4} + y^2 = 1$上の点を通り、$z$軸に平行な直線全体が作る曲面の$z \ge 0$の部分を$K$とする。$C$上の点$A(-2, 0, 0)$, $B(2, 0, 0)$を含み、$xy$平面と$\frac{\pi}{4}$の角をなす点$(0, 1, 1)$を通る平面を$H$とする。$xy$平面、$K$、および$H$で囲まれる立体のうち点$(0, 1, 0)$を含む立体の体積$V$を求める。

1. 問題の内容

$xyz$空間において、楕円$C: \frac{x^2}{4} + y^2 = 1$上の点を通り、$z$軸に平行な直線全体が作る曲面の$z \ge 0$の部分を$K$とする。$C$上の点$A(-2, 0, 0)$, $B(2, 0, 0)$を含み、$xy$平面と$\frac{\pi}{4}$の角をなす点$(0, 1, 1)$を通る平面を$H$とする。$xy$平面、$K$、および$H$で囲まれる立体のうち点$(0, 1, 0)$を含む立体の体積$V$を求める。

2. 解き方の手順

まず、平面$H$の方程式を求める。平面$H$は点$(0, 1, 1)$を通り、$xy$平面とのなす角が$\frac{\pi}{4}$である。平面$H$の法線ベクトルを$(a, b, c)$とすると、$xy$平面の法線ベクトル$(0, 0, 1)$とのなす角$\theta$は$\frac{\pi}{4}$だから、

$\cos \theta = \frac{|(a, b, c) \cdot (0, 0, 1)|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2}} = \frac{|c|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

より、$c^2 = \frac{1}{2} (a^2 + b^2 + c^2)$となり、$c^2 = a^2 + b^2$が成り立つ。

また、平面$H$は点$A(-2, 0, 0)$, $B(2, 0, 0)$を通るから、平面$H$は$y$軸に平行である。

よって、法線ベクトルは$y$軸と垂直である必要があるので、$b = 0$。

したがって、$c^2 = a^2$より、$c = \pm a$。

点$(0, 1, 1)$を通ることから、平面$H$の方程式は、$a(x - 0) + 0(y - 1) + c(z - 1) = 0$。つまり、$ax + c(z - 1) = 0$。

$c = a$のとき、$x + z - 1 = 0$。

$c = -a$のとき、$x - z + 1 = 0$。

$z = 1 - x$または$z = x + 1$となる。

題意より点$(0, 1, 0)$を含む立体の体積を求めるので、$z = 1 - x$は$x = 0$で$z = 1$となるから不適。したがって、$z = 1 - x$ではない。

よって平面Hの方程式は$z = -x + 1$である。

次に、体積$V$を計算する。$K$は$\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$上で、$z \ge 0$の部分なので、$z = 0$。

求める体積は、$\iint_D (1 - x) \, dx dy$となる。

ここで、$D$は$\frac{x^2}{4} + y^2 \le 1$の領域である。

$x = 2r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$と変数変換すると、$dx dy = |J| dr d\theta = 2r \, dr d\theta$となる。

$0 \le r \le 1$, $0 \le \theta \le 2\pi$である。

$V = \int_0^{2\pi} \int_0^1 (1 - 2r \cos \theta) 2r \, dr d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^1 (2r - 4r^2 \cos \theta) \, dr d\theta$

$= \int_0^{2\pi} [r^2 - \frac{4}{3} r^3 \cos \theta]_0^1 d\theta = \int_0^{2\pi} (1 - \frac{4}{3} \cos \theta) d\theta = [\theta - \frac{4}{3} \sin \theta]_0^{2\pi}$

$= (2\pi - \frac{4}{3} \sin 2\pi) - (0 - \frac{4}{3} \sin 0) = 2\pi$

3. 最終的な答え

$2\pi$