長方形ABCDがあり、AB=2cm, BC=4cmである。点PはAを出発して毎秒1cmの速さでBを通りCまで動く。点QはBを出発して毎秒2cmの速さでC,D,Aを通りBに戻る。P,Qが同時に出発してから$x$秒後の三角形APQの面積を$y$ cm$^2$とする。 (1) $3 \le x \le 5$ のとき、$y$を$x$の式で表せ。 (2) 点QがDを通過してAに着くまでの間に、$y = \frac{7}{2}$を満たす$x$の値を求めよ。

1. 問題の内容

長方形ABCDがあり、AB=2cm, BC=4cmである。点PはAを出発して毎秒1cmの速さでBを通りCまで動く。点QはBを出発して毎秒2cmの速さでC,D,Aを通りBに戻る。P,Qが同時に出発してから$x$秒後の三角形APQの面積を$y$ cm$^2$とする。

(1) $3 \le x \le 5$ のとき、$y$を$x$の式で表せ。

(2) 点QがDを通過してAに着くまでの間に、$y = \frac{7}{2}$を満たす$x$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $3 \le x \le 5$ のとき、点Pは辺BC上にある。このとき、APを底辺とすると、APの長さは、$AP = \sqrt{AB^2 + BP^2} = \sqrt{2^2 + (x-2)^2} = \sqrt{4 + x^2 - 4x + 4} = \sqrt{x^2 - 4x + 8}$ となる。

しかし、この方法では計算が複雑になるため、別の方法を考える。点PがBC上にあるとき、$3 \le x \le 6$であり、点QはCD上にある。このとき、QからABに下ろした垂線の足をHとすると、QH = 4 - 2(x-2) = 8 - 2xとなる。よって、三角形APQの面積は、$y = \frac{1}{2} \times AP \times QH$。点PはBC上にあり、APを底辺とすると、APの長さは、$AP = \sqrt{2^2+(x-2)^2} = \sqrt{4+x^2-4x+4} = \sqrt{x^2-4x+8}$。一方、QからAPに下ろした垂線の足をIとすると、QI = 4 - 2(x-2) = 8 - 2x。三角形APQの面積は、$y = \frac{1}{2} \times AP \times QI$。

$x$秒後の点Pの位置を考える。PはAからBまで2秒、BからCまで4秒かかるので、$3 \le x \le 5$のとき、PはBC上にある。

$x$秒後の点Qの位置を考える。QはBからCまで2秒、CからDまで1秒、DからAまで2秒かかる。QがDに到達するのは、$2 + 1 = 3$秒後である。また、QがAに到達するのは、$2+1+2 = 5$秒後である。よって、$3 \le x \le 5$のとき、QはCD上にある。

このとき、三角形APQの面積は、台形ABHQの面積から三角形PBQの面積を引いたものとして計算できる。台形ABHQの面積は$\frac{1}{2}(AB+QH)\times BH = \frac{1}{2}(2+8-2x) \times 2 = 10-2x$である。三角形PBQの面積は$\frac{1}{2} \times PB \times BC = \frac{1}{2}(x-2)(4-2(x-2)) = \frac{1}{2}(x-2)(8-2x) = (x-2)(4-x) = 4x - x^2 - 8 + 2x = -x^2+6x-8$である。

したがって、$y = 10 - 2x - (-x^2 + 6x - 8) = 10 - 2x + x^2 - 6x + 8 = x^2 - 8x + 18$

(2) QがDを通過してAに着くまでの間は、5秒から7秒の間である。この間にQはDA上を動いており、Qの位置をAからの距離で表すと、$2(x-5)$。したがって、三角形APQの面積は、$y = \frac{1}{2} \times 2 \times 2(x-5) = 2x - 10 = \frac{7}{2}$。これを解くと、$2x = \frac{27}{2}$なので、$x = \frac{27}{4} = 6.75$。

3. 最終的な答え

(1) $y = x^2 - 8x + 18$

(2) $x = \frac{27}{4}$