長さ2の線分ABを直径とする円の周上に、$\angle BAC = 30^\circ$となるように点Cをとる。線分ACの中点をMとし、線分BCを直径とする円と線分BMとの交点のうちBと異なる点をPとする。線分CPの延長と線分ABの交点をQとするとき、以下の問いに答える。 (1) 線分の長さの積MP・MBと線分PBの長さを求めよ。 (2) 線分AQの長さと$\triangle AQC$の面積を求めよ。

1. 問題の内容

長さ2の線分ABを直径とする円の周上に、$\angle BAC = 30^\circ$となるように点Cをとる。線分ACの中点をMとし、線分BCを直径とする円と線分BMとの交点のうちBと異なる点をPとする。線分CPの延長と線分ABの交点をQとするとき、以下の問いに答える。

(1) 線分の長さの積MP・MBと線分PBの長さを求めよ。

(2) 線分AQの長さと$\triangle AQC$の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) MP・MBとPBの長さを求める。

* $\angle BAC = 30^\circ$であるから、$\angle ABC = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$

* BCを直径とする円周角より、$\angle BPC = 90^\circ$である。

* $\triangle ABC$において、$AC = AB \cos{30^\circ} = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$、$BC = AB \sin{30^\circ} = 2 \times \frac{1}{2} = 1$

* MはACの中点なので、$AM = MC = \frac{\sqrt{3}}{2}$

* $\triangle MBC$において、$BC=1$, $MC=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\angle MCB = 90^\circ$なので、$MB = \sqrt{MC^2+BC^2}=\sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2+1^2}=\sqrt{\frac{3}{4}+1}=\sqrt{\frac{7}{4}}=\frac{\sqrt{7}}{2}$

* $\angle CBP = \angle CBM$である。$\triangle BPC$は直角三角形であるから、$\angle BCP=90^\circ - \angle CBP = 90^\circ - \angle CBM$

* 方べきの定理より、$MP \cdot MB = MC \cdot MA = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4}$

* $\angle BCP = 90^\circ - \angle CBM$であるから、$\angle CBM = \angle PBM$

* $\triangle MBC$において、余弦定理より、$MC^2 = MB^2+BC^2-2MB\cdot BC \cos{\angle MBC}$

$\frac{3}{4} = \frac{7}{4} + 1 - 2 \times \frac{\sqrt{7}}{2} \times 1 \times \cos{\angle MBC}$

$\sqrt{7} \cos{\angle MBC} = \frac{7}{4}+1-\frac{3}{4} = 2$

$\cos{\angle MBC} = \frac{2}{\sqrt{7}}$

* $\triangle PBC$は$\angle BPC=90^\circ$の直角三角形であるから、$PB=BC \cos{\angle CBP} = 1\times \cos{\angle CBM}=\frac{2}{\sqrt{7}}=\frac{2\sqrt{7}}{7}$

(2) AQの長さと$\triangle AQC$の面積を求める。

* $\angle ACB = 90^\circ$より、$\angle ACQ = 90^\circ$

* $\triangle ACQ$において、$\angle CAQ=30^\circ$, $\angle ACQ = 90^\circ$, $\angle AQC=60^\circ$

* $\triangle CBQ$において、$\angle CBQ = 60^\circ$, $\angle BCQ = 90^\circ-\angle QCA=90^\circ-90^\circ=0^\circ$

* $\triangle ACQ$は30°, 60°, 90°の三角形だから、$AQ = AC / \sqrt{3} = \sqrt{3} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = 2/ \sqrt{3}$

$CQ = AC \times \frac{1}{ \sqrt{3}} = \sqrt{3} * 1/ \sqrt{3} = 1$

$AQ = AC cot 30^\circ /2 = \sqrt{3} * \sqrt{3} = 3$

* $\triangle AQC = \frac{1}{2} \times AC \times CQ = \frac{1}{2} \times \sqrt{3} \times 3\sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) MP・MB = $\frac{3}{4}$、PB = $\frac{2\sqrt{7}}{7}$

(2) AQ = 3、$\triangle AQC$ = $\frac{3\sqrt{3}}{2}$