座標平面上に円 $C: x^2 + y^2 - 6y - 7 = 0$ と直線 $l: y = ax - 6a + 7$ がある。 (1) 円Cの中心の座標と半径を求め、直線$l$が定数$a$の値に関わらず通る点を求める。 (2) 円Cと直線$l$が異なる2点で交わる時の定数$a$の範囲を求める。 (3) 点(0, -5)を通り円Cに接する直線$m$と$n$を求める（$m$は傾きが正、$n$は傾きが負）。直線$m$と円Cの接点をP、直線$n$と円Cの接点をQとする。直線$n$の式と点Qの座標を求め、円Cの弧PQのうち線分PQの下側にある弧と直線m, nで囲まれた図形の面積Sを求める。

1. 問題の内容

座標平面上に円 $C: x^2 + y^2 - 6y - 7 = 0$ と直線 $l: y = ax - 6a + 7$ がある。

(1) 円Cの中心の座標と半径を求め、直線$l$が定数$a$の値に関わらず通る点を求める。

(2) 円Cと直線$l$が異なる2点で交わる時の定数$a$の範囲を求める。

(3) 点(0, -5)を通り円Cに接する直線$m$と$n$を求める（$m$は傾きが正、$n$は傾きが負）。直線$m$と円Cの接点をP、直線$n$と円Cの接点をQとする。直線$n$の式と点Qの座標を求め、円Cの弧PQのうち線分PQの下側にある弧と直線m, nで囲まれた図形の面積Sを求める。

2. 解き方の手順

(1) 円Cの式を平方完成すると、

$x^2 + (y - 3)^2 = 16$

よって、円Cの中心は(0, 3)であり、半径は4である。

直線$l$の式を変形すると、

$y = a(x - 6) + 7$

これは、$a$の値に関わらず点(6, 7)を通る。

(2) 円Cの中心(0, 3)と直線$l: ax - y - 6a + 7 = 0$の距離$d$を求める。

$d = \frac{|a \cdot 0 - 3 - 6a + 7|}{\sqrt{a^2 + (-1)^2}} = \frac{|-6a + 4|}{\sqrt{a^2 + 1}}$

円Cと直線$l$が異なる2点で交わるので、$d < 4$となる。

$\frac{|-6a + 4|}{\sqrt{a^2 + 1}} < 4$

$|-6a + 4| < 4\sqrt{a^2 + 1}$

両辺を2乗すると、

$(-6a + 4)^2 < 16(a^2 + 1)$

$36a^2 - 48a + 16 < 16a^2 + 16$

$20a^2 - 48a < 0$

$5a^2 - 12a < 0$

$a(5a - 12) < 0$

よって、$0 < a < \frac{12}{5}$

(3) 点(0, -5)を通る直線の方程式を$y = kx - 5$とする。この直線と円Cが接するので、円Cの中心(0, 3)と直線$kx - y - 5 = 0$の距離が4となる。

$\frac{|k \cdot 0 - 3 - 5|}{\sqrt{k^2 + (-1)^2}} = 4$

$\frac{|-8|}{\sqrt{k^2 + 1}} = 4$

$64 = 16(k^2 + 1)$

$4 = k^2 + 1$

$k^2 = 3$

$k = \pm \sqrt{3}$

傾きが正の直線を$m$とするので、$m: y = \sqrt{3}x - 5$

傾きが負の直線を$n$とするので、$n: y = -\sqrt{3}x - 5$

したがって、直線$n$の方程式は、$y = -\sqrt{3}x - 5$

円C: $x^2 + (y-3)^2 = 16$と直線$n: y = -\sqrt{3}x - 5$の交点Qの座標を求める。

$x^2 + (-\sqrt{3}x - 5 - 3)^2 = 16$

$x^2 + (-\sqrt{3}x - 8)^2 = 16$

$x^2 + 3x^2 + 16\sqrt{3}x + 64 = 16$

$4x^2 + 16\sqrt{3}x + 48 = 0$

$x^2 + 4\sqrt{3}x + 12 = 0$

$(x + 2\sqrt{3})^2 = 0$

$x = -2\sqrt{3}$

$y = -\sqrt{3}(-2\sqrt{3}) - 5 = 6 - 5 = 1$

よって、点Qの座標は$(-2\sqrt{3}, 1)$

円Cの中心をOとする。点P, Qにおける接線m, nのなす角は$\theta$とし、$\angle POQ = \pi - \theta$である。$\tan(\theta/2) = \frac{\sqrt{3} - (-\sqrt{3})}{1 + \sqrt{3}(-\sqrt{3})} = \frac{2\sqrt{3}}{-2} = -\sqrt{3}$より$\theta = 2\pi/3$. よって、$\angle POQ = \pi - 2\pi/3 = \pi/3$. 扇形POQの面積は$\frac{1}{2} \cdot 4^2 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{8\pi}{3}$.

三角形OPQの面積は$\frac{1}{2}|0 \cdot (1-(-5)) + (-2\sqrt{3}) \cdot (-5 -3) + 0 \cdot (3 - 1)| = \frac{1}{2}|16\sqrt{3}| = 8\sqrt{3}$.

求める面積Sは$8\sqrt{3} - \frac{8\pi}{3}$。

$S = 8\sqrt{3} - \frac{8}{3}\pi$

3. 最終的な答え

(1) 中心：(0, 3), 半径：4, 通る点：(6, 7)

(2) $0 < a < \frac{12}{5}$

(3) (i) 直線nの方程式：$y = -\sqrt{3}x - 5$, 点Qの座標：$(-2\sqrt{3}, 1)$

(ii) $S = 8\sqrt{3} - \frac{8}{3}\pi$