直線 $l: y = x + 4$ と直線 $m: y = -2x + 7$ が与えられています。 $l$ と $m$ の交点を $A$, $l$ と $y$ 軸の交点を $B$, $m$ と $x$ 軸の交点を $C$, $l$ と $x$ 軸の交点を $D$ とします。 三角形 $ACD$ の内部にある長方形 $FQPE$ は, 辺 $QP$ が $x$ 軸上にあり, 頂点 $E, F$ がそれぞれ $AC, AD$ 上にあります。 このとき、以下の問いに答えます。 (1) 点 $A$ の座標を求めなさい。 (2) 四角形 $ABOC$ の面積を求めなさい。 (3) 長方形 $FQPE$ が正方形になるとき、点 $F$ の座標を求めなさい。

1. 問題の内容

直線 $l: y = x + 4$ と直線 $m: y = -2x + 7$ が与えられています。

$l$ と $m$ の交点を $A$, $l$ と $y$ 軸の交点を $B$, $m$ と $x$ 軸の交点を $C$, $l$ と $x$ 軸の交点を $D$ とします。

三角形 $ACD$ の内部にある長方形 $FQPE$ は, 辺 $QP$ が $x$ 軸上にあり, 頂点 $E, F$ がそれぞれ $AC, AD$ 上にあります。

このとき、以下の問いに答えます。

(1) 点 $A$ の座標を求めなさい。

(2) 四角形 $ABOC$ の面積を求めなさい。

(3) 長方形 $FQPE$ が正方形になるとき、点 $F$ の座標を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) 点 A の座標を求める。

点 $A$ は直線 $l$ と直線 $m$ の交点なので、連立方程式

$y = x + 4$

$y = -2x + 7$

を解けばよい。

$x + 4 = -2x + 7$

$3x = 3$

$x = 1$

$y = 1 + 4 = 5$

したがって、点 $A$ の座標は $(1, 5)$ である。

(2) 四角形 $ABOC$ の面積を求める。

点 $B$ は直線 $l: y = x + 4$ と $y$ 軸の交点なので, $x=0$ より $y = 4$。したがって $B(0, 4)$ である。

点 $C$ は直線 $m: y = -2x + 7$ と $x$ 軸の交点なので, $y=0$ より $0 = -2x + 7$, $2x = 7$, $x = \frac{7}{2}$。したがって $C(\frac{7}{2}, 0)$ である。

四角形 $ABOC$ は台形なので、面積は

$\frac{1}{2} (OB + AC) \times OC = \frac{1}{2} (4 + 5) \times \frac{7}{2} = \frac{1}{2} \times 9 \times \frac{7}{2} = \frac{63}{4}$

(3) 長方形 $FQPE$ が正方形になるとき、点 $F$ の座標を求める。

点 $D$ は直線 $l: y = x + 4$ と $x$ 軸の交点なので, $y=0$ より $0 = x + 4$, $x = -4$。したがって $D(-4, 0)$ である。

点 $F$ は直線 $AD$ 上にある。直線 $AD$ の方程式を求める。

$A(1, 5), D(-4, 0)$ より, 直線 $AD$ の傾きは $\frac{5-0}{1-(-4)} = \frac{5}{5} = 1$

したがって、直線 $AD$ の方程式は $y = x + 4$。

$FQPE$ が正方形なので、$FQ = QP$ である。点 $F$ の座標を $(x, y)$ とすると、$FQ = y$ であり、$QP = |x|$ (ただし、$x < 0$)なので、$QP = -x$。

したがって、$y = -x$。

点 $F$ は直線 $AD$ 上にあるので、$y = x + 4$ を満たす。

$y = -x$ を $y = x + 4$ に代入すると, $-x = x + 4$, $-2x = 4$, $x = -2$。

$y = -x = -(-2) = 2$。

したがって、点 $F$ の座標は $(-2, 2)$ である。

3. 最終的な答え

(1) 点 A の座標: $(1, 5)$

(2) 四角形 $ABOC$ の面積: $\frac{63}{4}$

(3) 点 $F$ の座標: $(-2, 2)$