三角形ABCにおいて、$a = \sqrt{13}$, $b = 5$, $c = 3\sqrt{2}$ のとき、$\cos A$ の値と角 $A$ を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a = \sqrt{13}$, $b = 5$, $c = 3\sqrt{2}$ のとき、$\cos A$ の値と角 $A$ を求めよ。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いて $\cos A$ を求める。余弦定理は以下のように表される。

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

この式を変形して $\cos A$ について解くと、以下のようになる。

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

与えられた値を代入する。

$\cos A = \frac{5^2 + (3\sqrt{2})^2 - (\sqrt{13})^2}{2 \cdot 5 \cdot 3\sqrt{2}}$

$\cos A = \frac{25 + 18 - 13}{30\sqrt{2}}$

$\cos A = \frac{30}{30\sqrt{2}}$

$\cos A = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\cos A = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos A = \frac{\sqrt{2}}{2}$ となる $A$ の値を求める。$0^{\circ} < A < 180^{\circ}$ であるから、

$A = 45^{\circ}$

3. 最終的な答え

$\cos A = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$A = 45^{\circ}$