$0 < x < \frac{\pi}{2}$、 $0 < y < \frac{\pi}{2}$ のとき、次の2つの等式を満たす $x, y$ を求める問題です。 * $\tan(x+y) = \frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ * $\tan x + \tan y = 1 + \sqrt{3}$

1. 問題の内容

$0 < x < \frac{\pi}{2}$、 $0 < y < \frac{\pi}{2}$ のとき、次の2つの等式を満たす $x, y$ を求める問題です。

* $\tan(x+y) = \frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$

* $\tan x + \tan y = 1 + \sqrt{3}$

2. 解き方の手順

まず、$\tan(x+y)$ の式を整理します。

$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ の分母を有理化します。

$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} = \frac{(1 + \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})} = \frac{1 + 2\sqrt{3} + 3}{1 - 3} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{-2} = -2 - \sqrt{3}$

したがって、$\tan(x+y) = -2 - \sqrt{3}$ です。

次に、$x+y$ の値を求めます。

$0 < x < \frac{\pi}{2}$ かつ $0 < y < \frac{\pi}{2}$ なので、$0 < x+y < \pi$ です。

$\tan(x+y) = -2 - \sqrt{3}$ より、$\frac{\pi}{2} < x+y < \pi$ であることが分かります。

$\tan(\frac{5\pi}{12}) = \tan(75^\circ) = \tan(45^\circ + 30^\circ) = \frac{\tan 45^\circ + \tan 30^\circ}{1 - \tan 45^\circ \tan 30^\circ} = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{3 - 1} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{2} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$

したがって、$\tan(x+y) = -2 - \sqrt{3}$ なので、$x+y = \pi - \frac{5\pi}{12} = \frac{7\pi}{12}$ は解の一つですが、これは $\tan(x+y) < 0$ に反します。

$\tan(\frac{2\pi}{3}) = -\sqrt{3}$と$\tan(\frac{3\pi}{4})=-1$の中間の値になっているので、$x+y = \frac{5\pi}{6}$を仮定して$\tan(\frac{5\pi}{6}) = \frac{1}{-\sqrt{3}}$

$\tan(x+y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}$ より、

$-2 - \sqrt{3} = \frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \tan x \tan y}$

$1 - \tan x \tan y = \frac{1 + \sqrt{3}}{-2 - \sqrt{3}} = \frac{1 + \sqrt{3}}{-(2 + \sqrt{3})} = -1$

$\tan x \tan y = 2$

$\tan x + \tan y = 1 + \sqrt{3}$より、$\tan x$と$\tan y$は、$t^2 - (1 + \sqrt{3})t + 2 = 0$ の解。

$t = \frac{1 + \sqrt{3} \pm \sqrt{(1+\sqrt{3})^2 - 8}}{2} = \frac{1 + \sqrt{3} \pm \sqrt{1 + 2\sqrt{3} + 3 - 8}}{2} = \frac{1 + \sqrt{3} \pm \sqrt{2\sqrt{3} - 4}}{2}$

これは解けない。

$\tan(x+y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}$ より、

$\tan(x+y) = \frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \tan x \tan y} = -2 - \sqrt{3}$

$1 + \sqrt{3} = (-2 - \sqrt{3}) (1 - \tan x \tan y)$

$1 + \sqrt{3} = -2 - \sqrt{3} + (2 + \sqrt{3}) \tan x \tan y$

$3 + 2\sqrt{3} = (2 + \sqrt{3}) \tan x \tan y$

$\tan x \tan y = \frac{3 + 2\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} = \frac{(3 + 2\sqrt{3})(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{6 - 3\sqrt{3} + 4\sqrt{3} - 6}{4 - 3} = \sqrt{3}$

$\tan x + \tan y = 1 + \sqrt{3}$ かつ $\tan x \tan y = \sqrt{3}$ なので、$\tan x$ と $\tan y$ は $t^2 - (1 + \sqrt{3})t + \sqrt{3} = 0$ の解。

$(t-1)(t-\sqrt{3}) = 0$

したがって、$\tan x = 1$ かつ $\tan y = \sqrt{3}$、または $\tan x = \sqrt{3}$ かつ $\tan y = 1$。

$0 < x < \frac{\pi}{2}$、 $0 < y < \frac{\pi}{2}$ なので、$x = \frac{\pi}{4}$、 $y = \frac{\pi}{3}$ または $x = \frac{\pi}{3}$、$y = \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$x = \frac{\pi}{4}, y = \frac{\pi}{3}$ または $x = \frac{\pi}{3}, y = \frac{\pi}{4}$