一辺の長さが4の正四面体OABCがある。点Pは線分OA上の点であり、点Q, Rはそれぞれ辺OB, OCの中点である。OPの長さを$p$とする。 (1) $\triangle PQR$において、$PQ, QR, RP$の長さを求め、余弦定理を用いて$\cos \angle QPR$を求める。 (2) $\angle QPR$の大きさが最大となるときの$\triangle PQR$の面積を求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが4の正四面体OABCがある。点Pは線分OA上の点であり、点Q, Rはそれぞれ辺OB, OCの中点である。OPの長さを$p$とする。

(1) $\triangle PQR$において、$PQ, QR, RP$の長さを求め、余弦定理を用いて$\cos \angle QPR$を求める。

(2) $\angle QPR$の大きさが最大となるときの$\triangle PQR$の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$PQ = \sqrt{OP^2 + OQ^2 - 2 \cdot OP \cdot OQ \cdot \cos \angle AOB} = \sqrt{p^2 + 2^2 - 2 \cdot p \cdot 2 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{p^2 - 2p + 4}$

$QR = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$

$RP = \sqrt{OR^2 + OP^2 - 2 \cdot OR \cdot OP \cdot \cos \angle AOC} = \sqrt{2^2 + p^2 - 2 \cdot 2 \cdot p \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{p^2 - 2p + 4}$

したがって、

$PQ = \sqrt{p^2 - 2p + 4}$

$QR = 2$

$RP = \sqrt{p^2 - 2p + 4}$

$\cos \angle QPR = \frac{PQ^2 + RP^2 - QR^2}{2 \cdot PQ \cdot RP} = \frac{p^2 - 2p + 4 + p^2 - 2p + 4 - 4}{2 \cdot \sqrt{p^2 - 2p + 4} \cdot \sqrt{p^2 - 2p + 4}} = \frac{2p^2 - 4p + 4}{2(p^2 - 2p + 4)} = \frac{p^2 - 2p + 2}{p^2 - 2p + 4} = \frac{p^2 - 2p + 4 - 2}{p^2 - 2p + 4} = 1 - \frac{2}{p^2 - 2p + 4}$

(2)

$f(p) = p^2 - 2p + 4 = (p-1)^2 + 3$

$0 \le p \le 4$ より、$3 \le f(p) \le 12$

したがって、$\frac{2}{12} \le \frac{2}{f(p)} \le \frac{2}{3}$

$\frac{1}{6} \le \frac{2}{p^2 - 2p + 4} \le \frac{2}{3}$

$\cos \angle QPR = 1 - \frac{2}{p^2 - 2p + 4}$ であるから、

$1 - \frac{2}{3} \le \cos \angle QPR \le 1 - \frac{1}{6}$

$\frac{1}{3} \le \cos \angle QPR \le \frac{5}{6}$

$\angle QPR$が最大となるのは$\cos \angle QPR$が最小となるとき。

$\cos \angle QPR = \frac{1}{3}$となるとき、$f(p) = p^2 - 2p + 4$が最大となるとき、すなわち、$p=0$または$p=4$のとき。

$\cos \angle QPR = \frac{1}{3}$

$\sin^2 \angle QPR = 1 - \cos^2 \angle QPR = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$\sin \angle QPR = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\triangle PQR = \frac{1}{2} \cdot PQ \cdot RP \cdot \sin \angle QPR$

$PQ = RP = \sqrt{p^2 - 2p + 4} = \sqrt{16 - 8 + 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

$\triangle PQR = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = 4\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

ア：6

イ：1

ウ：6

エ：0

オ：5

カ：1

キ：6

ク：2

ケ：3

コ：1

サ：3

シ：5

ス：6

セ：0

ソ：2

タ：2

チ：3

ツ：8