次の3直線で三角形ができないような $a$ の値をすべて求めよ。 (1) $y = \frac{2}{3}x - 6$, $y = \frac{1}{6}x - 1$, $y = ax - 5$ (2) $y = \frac{1}{2}x + 4$, $y = \frac{7}{8}x - 2$, $y = ax + 6$

1. 問題の内容

次の3直線で三角形ができないような $a$ の値をすべて求めよ。

(1) $y = \frac{2}{3}x - 6$, $y = \frac{1}{6}x - 1$, $y = ax - 5$

(2) $y = \frac{1}{2}x + 4$, $y = \frac{7}{8}x - 2$, $y = ax + 6$

2. 解き方の手順

3直線で三角形ができないのは、以下のいずれかの場合です。

(a) 3直線が平行な直線を含む場合

(b) 3直線が1点で交わる場合

(1) の場合：

3直線の傾きはそれぞれ $\frac{2}{3}$, $\frac{1}{6}$, $a$ です。

(a) の場合：

$a = \frac{2}{3}$ または $a = \frac{1}{6}$

(b) の場合：

まず、$y = \frac{2}{3}x - 6$ と $y = \frac{1}{6}x - 1$ の交点を求めます。

$\frac{2}{3}x - 6 = \frac{1}{6}x - 1$

$4x - 36 = x - 6$

$3x = 30$

$x = 10$

$y = \frac{1}{6}(10) - 1 = \frac{10}{6} - 1 = \frac{5}{3} - \frac{3}{3} = \frac{2}{3}$

交点は $(10, \frac{2}{3})$ です。

この点が $y = ax - 5$ 上にあるとき、

$\frac{2}{3} = 10a - 5$

$\frac{2}{3} + 5 = 10a$

$\frac{2 + 15}{3} = 10a$

$\frac{17}{3} = 10a$

$a = \frac{17}{30}$

(2) の場合：

3直線の傾きはそれぞれ $\frac{1}{2}$, $\frac{7}{8}$, $a$ です。

(a) の場合：

$a = \frac{1}{2}$ または $a = \frac{7}{8}$

(b) の場合：

まず、$y = \frac{1}{2}x + 4$ と $y = \frac{7}{8}x - 2$ の交点を求めます。

$\frac{1}{2}x + 4 = \frac{7}{8}x - 2$

$4x + 32 = 7x - 16$

$3x = 48$

$x = 16$

$y = \frac{1}{2}(16) + 4 = 8 + 4 = 12$

交点は $(16, 12)$ です。

この点が $y = ax + 6$ 上にあるとき、

$12 = 16a + 6$

$16a = 6$

$a = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{2}{3}, \frac{1}{6}, \frac{17}{30}$

(2) $a = \frac{1}{2}, \frac{7}{8}, \frac{3}{8}$