図1において、四角形ABCDは正方形であり、点Pは辺BC上にある。∠PABの大きさを$a^\circ$とするとき、∠CSPの大きさを$a$を用いた式で表す。また、図2において、△ABP≡△ADQであることを証明する。

1. 問題の内容

図1において、四角形ABCDは正方形であり、点Pは辺BC上にある。∠PABの大きさを$a^\circ$とするとき、∠CSPの大きさを$a$を用いた式で表す。また、図2において、△ABP≡△ADQであることを証明する。

2. 解き方の手順

(1) ∠CSPの大きさを$a$で表す。

まず、正方形の性質より、∠ABC = ∠BCD = 90°である。

また、∠PAB = $a^\circ$なので、∠BAP = $a^\circ$。

△ABPにおいて、∠APB = 180° - (∠BAP + ∠ABC) = 180° - ($a^\circ$ + 90°) = 90° - $a^\circ$。

AP⊥AQなので、∠PAQ = 90°。

∠DAQ = ∠PAQ - ∠PAB = 90° - $a^\circ$。

△ADQにおいて、∠ADQ = 90°なので、∠AQD = 180° - (∠ADQ + ∠DAQ) = 180° - (90° + (90° - $a^\circ$)) = $a^\circ$。

QR平行APなので、∠RQD=∠PAQ = 90°。

したがって、∠RQC=90°-∠AQD=90°-$a^\circ$

∠QRC=90° なので、四角形PRCSにおいて∠PSC=360°-∠CRP-∠RCS-∠SPR = 360°-90°-90°-90°=90°

PR平行APなので、∠SPR=90°

したがって, ∠CSR=180°-∠PSC=180°-90°=90°。

∠CSP+∠PSR=180°

∠PSR+∠RSC=180°

∠CSP=∠RSC

四角形ABCDは正方形よりCD平行ABなので ∠RSC =∠AQD = $a^\circ$

(2) △ABP≡△ADQを示す。

△ABPと△ADQにおいて、

AB = AD (正方形の辺)

∠BAP = ∠DAQ = $a^\circ$

∠ABP = ∠ADQ = 90°

よって、一辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、△ABP≡△ADQ

3. 最終的な答え

(1) ∠CSP = $a^\circ$

(2) △ABP≡△ADQ　(証明終わり)