座標平面上の2つの円 $C_1$ と $C_2$ はどちらも第1象限に中心があり、$x$軸、$y$軸、および直線 $3x + 4y = 12$ に接している。$C_1$ と $C_2$ の中心間の距離を求める。

1. 問題の内容

座標平面上の2つの円 $C_1$ と $C_2$ はどちらも第1象限に中心があり、$x$軸、$y$軸、および直線 $3x + 4y = 12$ に接している。$C_1$ と $C_2$ の中心間の距離を求める。

2. 解き方の手順

円 $C_1, C_2$ の中心は第1象限にあり、$x$軸、$y$軸に接しているので、中心の座標は $(r, r)$ （$r > 0$）と表せる。

また、直線 $3x + 4y = 12$ にも接するので、点 $(r, r)$ と直線 $3x + 4y - 12 = 0$ の距離が $r$ に等しい。

点と直線の距離の公式より、

$$\frac{|3r + 4r - 12|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = r$$

$$\frac{|7r - 12|}{5} = r$$

絶対値を外すと、

$7r - 12 = 5r$ または $7r - 12 = -5r$

$7r - 12 = 5r$ のとき、

$2r = 12$

$r = 6$

$7r - 12 = -5r$ のとき、

$12r = 12$

$r = 1$

よって、2つの円の中心は $(6, 6)$ と $(1, 1)$ である。

この2点間の距離は、

$$\sqrt{(6 - 1)^2 + (6 - 1)^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$$

3. 最終的な答え

$5\sqrt{2}$