三角形ABCにおいて、$a=14, b=6, c=10$のとき、 (1) 三角形ABCの面積Sを求めよ。 (2) 三角形ABCの内接円の半径r、外接円の半径Rを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=14, b=6, c=10$のとき、

(1) 三角形ABCの面積Sを求めよ。

(2) 三角形ABCの内接円の半径r、外接円の半径Rを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 面積Sを求める。

ヘロンの公式を利用する。

まず、$s = \frac{a+b+c}{2}$を計算する。

$s = \frac{14+6+10}{2} = \frac{30}{2} = 15$

ヘロンの公式より、$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

$S = \sqrt{15(15-14)(15-6)(15-10)}$

$S = \sqrt{15 \cdot 1 \cdot 9 \cdot 5}$

$S = \sqrt{15 \cdot 45}$

$S = \sqrt{3 \cdot 5 \cdot 3^2 \cdot 5}$

$S = \sqrt{3^3 \cdot 5^2}$

$S = 3 \cdot 5 \cdot \sqrt{3}$

$S = 15\sqrt{3}$

(2) 内接円の半径rを求める。

$S = \frac{1}{2}r(a+b+c)$を利用する。

$15\sqrt{3} = \frac{1}{2}r(14+6+10)$

$15\sqrt{3} = \frac{1}{2}r(30)$

$15\sqrt{3} = 15r$

$r = \sqrt{3}$

外接円の半径Rを求める。

正弦定理を利用する。

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

$S = \frac{1}{2}bc\sin A$より、$\sin A = \frac{2S}{bc}$

$\sin A = \frac{2(15\sqrt{3})}{6 \cdot 10} = \frac{30\sqrt{3}}{60} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

よって、$\frac{14}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$

$2R = \frac{28}{\sqrt{3}}$

$R = \frac{14}{\sqrt{3}} = \frac{14\sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $S = 15\sqrt{3}$

(2) $r = \sqrt{3}$, $R = \frac{14\sqrt{3}}{3}$