正方形 $ABCD$ を底面とする正四角錐 $O-ABCD$ において、$OA = \sqrt{2}$、$AB = \sqrt{2}$ であるとき、この四角錐の外接球の半径を求める問題です。

1. 問題の内容

正方形 $ABCD$ を底面とする正四角錐 $O-ABCD$ において、$OA = \sqrt{2}$、$AB = \sqrt{2}$ であるとき、この四角錐の外接球の半径を求める問題です。

2. 解き方の手順

正四角錐 $O-ABCD$ の外接球の中心を $P$ とします。

$OA = OB = OC = OD = \sqrt{2}$、また $AB = BC = CD = DA = \sqrt{2}$ です。

正方形 $ABCD$ の対角線の交点を $M$ とすると、$OM$ は $ABCD$ に垂直です。

また $AM = \frac{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ となります。

$OM = h$ とおくと、直角三角形 $OMA$ で三平方の定理より、

$OM^2 + AM^2 = OA^2$ なので、$h^2 + (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{2})^2$、したがって $h = OM = 0$ となります。

$OM=0$ であるので、点 $O$ は正方形 $ABCD$ の中心 $M$ と一致します。

外接球の中心 $P$ は線分 $OM$ 上にあり、$OA = OB = OC = OD$ より、$PA = PB = PC = PD$ が成立する必要があることから、正方形$ABCD$ の中心 $M$ に一致します。

したがって外接球の半径は $PA = \sqrt{2}$ となります。

3. 最終的な答え

$\sqrt{2}$