$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ の中点を $C$ 、辺 $OB$ を $1:2$ に内分する点を $D$ とする。線分 $AD$ と線分 $BC$ の交点を $P$ とするとき、$\vec{OP}$ を $\vec{a}$ 、$\vec{b}$ を用いて表す。ただし、$\vec{OA} = \vec{a}$ 、$\vec{OB} = \vec{b}$ とする。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ の中点を $C$ 、辺 $OB$ を $1:2$ に内分する点を $D$ とする。線分 $AD$ と線分 $BC$ の交点を $P$ とするとき、$\vec{OP}$ を $\vec{a}$ 、$\vec{b}$ を用いて表す。ただし、$\vec{OA} = \vec{a}$ 、$\vec{OB} = \vec{b}$ とする。

2. 解き方の手順

点 $P$ は線分 $AD$ 上にあるので、$AP:PD = s:1-s$ とすると、

$$\vec{OP} = (1-s)\vec{OA} + s\vec{OD} = (1-s)\vec{a} + s\frac{1}{3}\vec{b} = (1-s)\vec{a} + \frac{s}{3}\vec{b}$$

点 $P$ は線分 $BC$ 上にあるので、$BP:PC = t:1-t$ とすると、

$$\vec{OP} = (1-t)\vec{OB} + t\vec{OC} = (1-t)\vec{b} + t\frac{1}{2}\vec{a} = \frac{t}{2}\vec{a} + (1-t)\vec{b}$$

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は一次独立なので、係数を比較して、

$$1-s = \frac{t}{2}$$

$$\frac{s}{3} = 1-t$$

これらの式を解く。

まず、$t = 2(1-s)$ を $\frac{s}{3} = 1-t$ に代入すると、

$$\frac{s}{3} = 1 - 2(1-s) = 1 - 2 + 2s = 2s - 1$$

$$s = 6s - 3$$

$$5s = 3$$

$$s = \frac{3}{5}$$

したがって、$t = 2(1-s) = 2(1-\frac{3}{5}) = 2(\frac{2}{5}) = \frac{4}{5}$

よって、

$$\vec{OP} = (1-s)\vec{a} + \frac{s}{3}\vec{b} = (1-\frac{3}{5})\vec{a} + \frac{3/5}{3}\vec{b} = \frac{2}{5}\vec{a} + \frac{1}{5}\vec{b}$$

または

$$\vec{OP} = \frac{t}{2}\vec{a} + (1-t)\vec{b} = \frac{4/5}{2}\vec{a} + (1-\frac{4}{5})\vec{b} = \frac{2}{5}\vec{a} + \frac{1}{5}\vec{b}$$

3. 最終的な答え

$\vec{OP} = \frac{2}{5}\vec{a} + \frac{1}{5}\vec{b}$