$\triangle OAB$ において、辺 $AB$ を $2:1$ に内分する点を $D$ とし、線分 $OD$ を $3:1$ に内分する点を $E$ とする。$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}$ として、$\overrightarrow{OE}$ を $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ を用いて表す。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、辺 $AB$ を $2:1$ に内分する点を $D$ とし、線分 $OD$ を $3:1$ に内分する点を $E$ とする。$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}$ として、$\overrightarrow{OE}$ を $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

まず、点 $D$ は辺 $AB$ を $2:1$ に内分する点なので、

$\overrightarrow{OD} = \frac{1 \cdot \overrightarrow{OA} + 2 \cdot \overrightarrow{OB}}{2+1} = \frac{\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB}}{3}$

$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}$ より、

$\overrightarrow{OD} = \frac{1}{3} \overrightarrow{a} + \frac{2}{3} \overrightarrow{b}$

次に、点 $E$ は線分 $OD$ を $3:1$ に内分する点なので、

$\overrightarrow{OE} = \frac{1 \cdot \overrightarrow{OD} + 3 \cdot \overrightarrow{OO}}{3+1} = \frac{\overrightarrow{OD}}{4} = \frac{1}{4} \overrightarrow{OD}$

$\overrightarrow{OD} = \frac{1}{3} \overrightarrow{a} + \frac{2}{3} \overrightarrow{b}$ より、

$\overrightarrow{OE} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{3} \overrightarrow{a} + \frac{2}{3} \overrightarrow{b} \right) = \frac{1}{12} \overrightarrow{a} + \frac{2}{12} \overrightarrow{b} = \frac{1}{12} \overrightarrow{a} + \frac{1}{6} \overrightarrow{b}$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{OE} = \frac{1}{12}\overrightarrow{a} + \frac{1}{6}\overrightarrow{b}$