与えられた不等式 $5x + 6 < x - 6 < 2x - \frac{1}{2}a$ を満たす整数 $x$ が8個であるとき、$a$ の取りうる値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $5x + 6 < x - 6 < 2x - \frac{1}{2}a$ を満たす整数 $x$ が8個であるとき、$a$ の取りうる値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を2つに分解します。

$5x + 6 < x - 6$ と $x - 6 < 2x - \frac{1}{2}a$

一つ目の不等式を解きます。

$5x + 6 < x - 6$

$4x < -12$

$x < -3$

二つ目の不等式を解きます。

$x - 6 < 2x - \frac{1}{2}a$

$-x < 6 - \frac{1}{2}a$

$x > -6 + \frac{1}{2}a$

$x > \frac{a}{2} - 6$

よって、$x$ の範囲は $\frac{a}{2} - 6 < x < -3$ となります。

この範囲に整数 $x$ が8個含まれるので、$-3$ より小さい整数を考えると、$-4, -5, -6, -7, -8, -9, -10, -11$ が含まれる必要があります。

したがって、$-12$ は含まれてはいけません。

$\frac{a}{2} - 6$ は $-12$ と $-11$ の間にある必要があります。

$-12 \le \frac{a}{2} - 6 < -11$

各辺に6を足します。

$-6 \le \frac{a}{2} < -5$

各辺を2倍します。

$-12 \le a < -10$

3. 最終的な答え

$-12 \le a < -10$

選択肢4が正解です。