(1) $(5x-1)(2x+3)$ を展開し、整理する。 (2) $6x^2 + x - 2$ を因数分解する。 (3) $(5-\sqrt{27})(1+\sqrt{3})$ を計算し、簡単にする。 (4) $|\sqrt{2}-1| + |2\sqrt{2}-3|$ を計算し、簡単にする。 (5) $x$ の2次方程式 $x^2 - 2ax + a^2 - 3a + 4 = 0$ が異なる2つの実数解をもつような定数 $a$ の値の範囲を求める。

はい、承知いたしました。問題文に記載された順番で問題を解きます。

1. 問題の内容

(1) $(5x-1)(2x+3)$ を展開し、整理する。

(2) $6x^2 + x - 2$ を因数分解する。

(3) $(5-\sqrt{27})(1+\sqrt{3})$ を計算し、簡単にする。

(4) $|\sqrt{2}-1| + |2\sqrt{2}-3|$ を計算し、簡単にする。

(5) $x$ の2次方程式 $x^2 - 2ax + a^2 - 3a + 4 = 0$ が異なる2つの実数解をもつような定数 $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) $(5x-1)(2x+3)$ を展開する。

$(5x-1)(2x+3) = 5x \cdot 2x + 5x \cdot 3 - 1 \cdot 2x - 1 \cdot 3 = 10x^2 + 15x - 2x - 3 = 10x^2 + 13x - 3$

(2) $6x^2 + x - 2$ を因数分解する。

$6x^2 + x - 2 = (2x-1)(3x+2)$

(3) $(5-\sqrt{27})(1+\sqrt{3})$ を計算する。

まず、$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$ より、

$(5-\sqrt{27})(1+\sqrt{3}) = (5-3\sqrt{3})(1+\sqrt{3}) = 5 + 5\sqrt{3} - 3\sqrt{3} - 3\sqrt{3}\sqrt{3} = 5 + 2\sqrt{3} - 3 \cdot 3 = 5 + 2\sqrt{3} - 9 = -4 + 2\sqrt{3}$

(4) $|\sqrt{2}-1| + |2\sqrt{2}-3|$ を計算する。

$\sqrt{2} \approx 1.414$ より、$\sqrt{2} - 1 > 0$ なので $|\sqrt{2}-1| = \sqrt{2}-1$ 。

$2\sqrt{2} \approx 2 \cdot 1.414 = 2.828$ より、$2\sqrt{2}-3 < 0$ なので $|2\sqrt{2}-3| = -(2\sqrt{2}-3) = 3 - 2\sqrt{2}$ 。

よって、$|\sqrt{2}-1| + |2\sqrt{2}-3| = \sqrt{2}-1 + 3 - 2\sqrt{2} = 2 - \sqrt{2}$

(5) $x^2 - 2ax + a^2 - 3a + 4 = 0$ が異なる2つの実数解を持つ条件は、判別式 $D > 0$ である。

$D = (-2a)^2 - 4(1)(a^2 - 3a + 4) = 4a^2 - 4a^2 + 12a - 16 = 12a - 16$

$D > 0$ より、$12a - 16 > 0$ なので、$12a > 16$ 、したがって、$a > \frac{16}{12} = \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $10x^2 + 13x - 3$

(2) $(2x-1)(3x+2)$

(3) $-4 + 2\sqrt{3}$

(4) $2 - \sqrt{2}$

(5) $a > \frac{4}{3}$