2次関数 $y = x^2 - mx - m + 3$ のグラフが、$x$軸の正の部分と異なる2点で交わるような、定数 $m$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - mx - m + 3$ のグラフが、$x$軸の正の部分と異なる2点で交わるような、定数 $m$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

この問題を解くには、以下の3つの条件を考慮する必要があります。

* $x$軸との交点が2つある（判別式 $D > 0$）

* 軸の位置が $x > 0$ である

* $x = 0$ のとき、$y > 0$ である

(1) $x$軸との交点が2つある条件：

判別式 $D = (-m)^2 - 4(1)(-m + 3) = m^2 + 4m - 12$

$D > 0$ となるためには、

$m^2 + 4m - 12 > 0$

$(m + 6)(m - 2) > 0$

よって、$m < -6$ または $m > 2$

(2) 軸の位置が $x > 0$ である条件：

$y = x^2 - mx - m + 3$ を平方完成すると、

$y = (x - \frac{m}{2})^2 - \frac{m^2}{4} - m + 3$

軸は $x = \frac{m}{2}$ なので、$\frac{m}{2} > 0$ である必要がある。

よって、$m > 0$

(3) $x = 0$ のとき、$y > 0$ である条件：

$y(0) = 0^2 - m(0) - m + 3 = -m + 3 > 0$

よって、$m < 3$

上記の3つの条件を満たす $m$ の範囲を求める。

(1) $m < -6$ または $m > 2$

(2) $m > 0$

(3) $m < 3$

これらの条件を全て満たす範囲は、$2 < m < 3$

3. 最終的な答え

$2 < m < 3$