$a, b$ は異なる正の数である。 $a, x, y, b$ が等差数列をなし、$a, u, v, b$ が等比数列をなすとき、$x+y$ と $u+v$ の大小を比較する。

1. 問題の内容

$a, b$ は異なる正の数である。 $a, x, y, b$ が等差数列をなし、$a, u, v, b$ が等比数列をなすとき、$x+y$ と $u+v$ の大小を比較する。

2. 解き方の手順

$a, x, y, b$ は等差数列なので、公差を $d$ とすると、

$x = a+d$

$y = a+2d$

$b = a+3d$

$b = a+3d$ より、$3d = b-a$ なので、$d = \frac{b-a}{3}$

したがって、

$x = a + \frac{b-a}{3} = \frac{3a+b-a}{3} = \frac{2a+b}{3}$

$y = a + 2\frac{b-a}{3} = \frac{3a+2b-2a}{3} = \frac{a+2b}{3}$

よって、$x+y = \frac{2a+b}{3} + \frac{a+2b}{3} = \frac{3a+3b}{3} = a+b$

$a, u, v, b$ は等比数列なので、公比を $r$ とすると、

$u = ar$

$v = ar^2$

$b = ar^3$

$b = ar^3$ より、$r^3 = \frac{b}{a}$ なので、$r = \sqrt[3]{\frac{b}{a}}$

したがって、

$u = a \sqrt[3]{\frac{b}{a}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{a}} = \sqrt[3]{a^3} \cdot \frac{\sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{a}} = \sqrt[3]{a^2b}$

$v = a \left(\sqrt[3]{\frac{b}{a}}\right)^2 = a \left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{2}{3}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{a^2}} = \sqrt[3]{a^3} \cdot \frac{\sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{a^2}} = \sqrt[3]{ab^2}$

よって、$u+v = \sqrt[3]{a^2b} + \sqrt[3]{ab^2}$

ここで、$x+y$ と $u+v$ の大小を比較する。つまり、$a+b$ と $\sqrt[3]{a^2b} + \sqrt[3]{ab^2}$ の大小を比較する。

$a+b - (\sqrt[3]{a^2b} + \sqrt[3]{ab^2}) = (\sqrt[3]{a})^3 + (\sqrt[3]{b})^3 - \sqrt[3]{a^2b} - \sqrt[3]{ab^2} = (\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})((\sqrt[3]{a})^2 - \sqrt[3]{ab} + (\sqrt[3]{b})^2) - \sqrt[3]{ab}(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}) = (\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})((\sqrt[3]{a})^2 - 2\sqrt[3]{ab} + (\sqrt[3]{b})^2) = (\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})^2$

$a,b$ は正の数なので、$\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} > 0$ であり、また、$a \neq b$ なので $\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b} \neq 0$ であるから、$(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})^2 > 0$ となる。

したがって、$a+b - (u+v) > 0$ となり、$a+b > u+v$

つまり、$x+y > u+v$

3. 最終的な答え

$x+y > u+v$