問題35は、2次方程式 $x^2 - 2(k+3)x - 2k = 0$ が異なる2つの正の解をもつとき、定数 $k$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

問題35は、2次方程式 $x^2 - 2(k+3)x - 2k = 0$ が異なる2つの正の解をもつとき、定数 $k$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、2次方程式が異なる2つの実数解を持つ条件を考えます。判別式を $D$ とすると、$D > 0$ となる必要があります。

$D = (-2(k+3))^2 - 4(1)(-2k) = 4(k^2 + 6k + 9) + 8k = 4k^2 + 24k + 36 + 8k = 4k^2 + 32k + 36 = 4(k^2 + 8k + 9)$

$D > 0$ より

$4(k^2 + 8k + 9) > 0$

$k^2 + 8k + 9 > 0$

$k = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 36}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{28}}{2} = -4 \pm \sqrt{7}$

したがって、$k < -4 - \sqrt{7}$ または $k > -4 + \sqrt{7}$ となります。

次に、2つの解 $\alpha, \beta$ がともに正である条件を考えます。

$\alpha + \beta > 0$ かつ $\alpha \beta > 0$ が必要です。

解と係数の関係より、$\alpha + \beta = 2(k+3)$、$\alpha \beta = -2k$ です。

$\alpha + \beta > 0$ より $2(k+3) > 0$ なので、$k > -3$ となります。

$\alpha \beta > 0$ より $-2k > 0$ なので、$k < 0$ となります。

したがって、$k$ は以下の条件を満たす必要があります。

1. $k < -4 - \sqrt{7}$ または $k > -4 + \sqrt{7}$

2. $k > -3$

3. $k < 0$

$k$ は $k < 0$ なので、$k < -4 - \sqrt{7}$ は条件を満たしません。

よって、$k > -4 + \sqrt{7}$, $k > -3$, $k < 0$ をすべて満たす必要があります。

$-4 + \sqrt{7} \approx -4 + 2.64 = -1.36$

したがって、$-3 < k < 0$ かつ $k > -4 + \sqrt{7}$ を満たす $k$ の範囲は、 $-4 + \sqrt{7} < k < 0$ となります。

3. 最終的な答え

$-4 + \sqrt{7} < k < 0$