2次方程式 $x^2 + 3kx - k + 4 = 0$ が正の解と負の解をもつとき、定数 $k$ の値の範囲を求めます。

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 3kx - k + 4 = 0$ が正の解と負の解をもつとき、定数 $k$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ が正の解と負の解を持つための条件は、$ac < 0$ となることです。

これは、解と係数の関係から、$2$つの解を$\alpha, \beta$とすると、$\alpha \beta = \frac{c}{a}$であり、$\alpha \beta < 0$となる必要があるからです。

この問題では、$a = 1$, $b = 3k$, $c = -k + 4$ です。したがって、条件は

$1 \cdot (-k + 4) < 0$

$-k + 4 < 0$

$k > 4$

3. 最終的な答え

$k > 4$