## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

39番の問題です。多項式 $P(x)$ を $x-4$ で割った余りが $1$ であり、$x+2$ で割った余りが $-5$ であるとき、$P(x)$ を $(x-4)(x+2)$ で割った余りを求めよ。

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2. 解き方の手順

* $P(x)$ を $(x-4)(x+2)$ で割ったときの商を $Q(x)$、余りを $ax + b$ とおくと、

$P(x) = (x-4)(x+2)Q(x) + ax + b$ と表せる。

* $P(x)$ を $x-4$ で割った余りが $1$ なので、$P(4) = 1$ より、

$P(4) = (4-4)(4+2)Q(4) + 4a + b = 1$

$4a + b = 1$

* $P(x)$ を $x+2$ で割った余りが $-5$ なので、$P(-2) = -5$ より、

$P(-2) = (-2-4)(-2+2)Q(-2) -2a + b = -5$

$-2a + b = -5$

* 連立方程式

$4a + b = 1$

$-2a + b = -5$

を解く。

* 上の式から下の式を引くと、

$6a = 6$

$a = 1$

* $4a + b = 1$ に $a=1$ を代入すると、

$4 + b = 1$

$b = -3$

* したがって、求める余りは $x - 3$

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3. 最終的な答え

$x - 3$