問題34の(1)から(4)について、与えられた2つの数を解とする二次方程式をそれぞれ1つ作る問題です。

1. 問題の内容

問題34の(1)から(4)について、与えられた2つの数を解とする二次方程式をそれぞれ1つ作る問題です。

2. 解き方の手順

与えられた2つの解を$\alpha$、$\beta$とします。求める二次方程式は、一般的に$x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha \beta = 0$という形で表されます。各問題について、$\alpha + \beta$と$\alpha \beta$を計算し、この式に代入します。

(1) $\alpha = 2, \beta = 3$の場合

$\alpha + \beta = 2 + 3 = 5$

$\alpha \beta = 2 \times 3 = 6$

求める二次方程式は、$x^2 - 5x + 6 = 0$

(2) $\alpha = \frac{3}{4}, \beta = -\frac{1}{4}$の場合

$\alpha + \beta = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$\alpha \beta = \frac{3}{4} \times (-\frac{1}{4}) = -\frac{3}{16}$

求める二次方程式は、$x^2 - \frac{1}{2}x - \frac{3}{16} = 0$。係数を整数にするために16倍すると、$16x^2 - 8x - 3 = 0$。

(3) $\alpha = 2 + \sqrt{2}, \beta = 2 - \sqrt{2}$の場合

$\alpha + \beta = (2 + \sqrt{2}) + (2 - \sqrt{2}) = 4$

$\alpha \beta = (2 + \sqrt{2})(2 - \sqrt{2}) = 2^2 - (\sqrt{2})^2 = 4 - 2 = 2$

求める二次方程式は、$x^2 - 4x + 2 = 0$

(4) $\alpha = \frac{3 + \sqrt{7}i}{2}, \beta = \frac{3 - \sqrt{7}i}{2}$の場合

$\alpha + \beta = \frac{3 + \sqrt{7}i}{2} + \frac{3 - \sqrt{7}i}{2} = \frac{3 + \sqrt{7}i + 3 - \sqrt{7}i}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$\alpha \beta = \frac{3 + \sqrt{7}i}{2} \times \frac{3 - \sqrt{7}i}{2} = \frac{(3 + \sqrt{7}i)(3 - \sqrt{7}i)}{4} = \frac{3^2 - (\sqrt{7}i)^2}{4} = \frac{9 - (-7)}{4} = \frac{16}{4} = 4$

求める二次方程式は、$x^2 - 3x + 4 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 - 5x + 6 = 0$

(2) $16x^2 - 8x - 3 = 0$

(3) $x^2 - 4x + 2 = 0$

(4) $x^2 - 3x + 4 = 0$