数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = n^2 - 3n$ で与えられているとき、以下の問題を解く。 (1) 初項 $a_1$ を求める。 (2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = n^2 - 3n$ で与えられているとき、以下の問題を解く。

(1) 初項 $a_1$ を求める。

(2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

2. 解き方の手順

(1) 初項 $a_1$ は、$S_1$ に等しい。したがって、$S_n = n^2 - 3n$ に $n=1$ を代入して計算する。

(2) 一般項 $a_n$ を求める。$n \geq 2$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$ が成り立つ。

$S_n = n^2 - 3n$ であるから、$S_{n-1} = (n-1)^2 - 3(n-1) = n^2 - 2n + 1 - 3n + 3 = n^2 - 5n + 4$ となる。

したがって、$n \geq 2$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 - 3n) - (n^2 - 5n + 4) = 2n - 4$ となる。

ここで、$n=1$ のとき、$a_1 = 2(1) - 4 = -2$ となり、$a_1 = S_1 = 1^2 - 3(1) = -2$ と一致する。

したがって、すべての $n$ に対して $a_n = 2n - 4$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) 初項 $a_1 = -2$

(2) 一般項 $a_n = 2n - 4$