## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

問題は3つあります。

1. $x^3 + y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y)$ を証明する。

2. $(a^2 - b^2)(c^2 - d^2) = (ac + bd)^2 - (ad + bc)^2$ を証明する。

3. $a + b + c = 0$ のとき、$\frac{b+c}{a} + \frac{c+a}{b} + \frac{a+b}{c} = -3$ を証明する。

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2. 解き方の手順

**問題1**

1. 右辺を展開します。

$(x+y)^3 - 3xy(x+y) = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 - 3x^2y - 3xy^2$

2. 同類項をまとめます。

$x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 - 3x^2y - 3xy^2 = x^3 + y^3$

3. 左辺と右辺が一致するので、等式は証明されました。

**問題2**

1. 左辺を展開します。

$(a^2 - b^2)(c^2 - d^2) = a^2c^2 - a^2d^2 - b^2c^2 + b^2d^2$

2. 右辺を展開します。

$(ac + bd)^2 - (ad + bc)^2 = (a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2) - (a^2d^2 + 2abcd + b^2c^2)$

$= a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2 - a^2d^2 - 2abcd - b^2c^2$

3. 同類項をまとめます。

$a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2 - a^2d^2 - 2abcd - b^2c^2 = a^2c^2 - a^2d^2 - b^2c^2 + b^2d^2$

4. 左辺と右辺が一致するので、等式は証明されました。

**問題3**

1. $a + b + c = 0$ より、$b + c = -a$、$c + a = -b$、$a + b = -c$ が成り立ちます。

2. これらの関係式を$\frac{b+c}{a} + \frac{c+a}{b} + \frac{a+b}{c}$に代入します。

$\frac{b+c}{a} + \frac{c+a}{b} + \frac{a+b}{c} = \frac{-a}{a} + \frac{-b}{b} + \frac{-c}{c}$

3. 約分します。

$\frac{-a}{a} + \frac{-b}{b} + \frac{-c}{c} = -1 - 1 - 1$

4. 計算します。

$-1 - 1 - 1 = -3$

5. したがって、等式は証明されました。

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3. 最終的な答え

1. $x^3 + y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y)$ は証明された。

2. $(a^2 - b^2)(c^2 - d^2) = (ac + bd)^2 - (ad + bc)^2$ は証明された。

3. $a + b + c = 0$ のとき、$\frac{b+c}{a} + \frac{c+a}{b} + \frac{a+b}{c} = -3$ は証明された。