$a, b$ は異なる正の数である。$a, x, y, b$ が等差数列、$a, u, v, b$ が等比数列をなすとき、$x+y$ と $u+v$ の大小を比較する。

1. 問題の内容

$a, b$ は異なる正の数である。$a, x, y, b$ が等差数列、$a, u, v, b$ が等比数列をなすとき、$x+y$ と $u+v$ の大小を比較する。

2. 解き方の手順

まず、$a, x, y, b$ が等差数列であることから、$x$ と $y$ を $a$ と $b$ で表す。

等差数列なので、公差を $d$ とすると、

$x = a + d$

$y = a + 2d$

$b = a + 3d$

したがって、$d = \frac{b-a}{3}$ となる。

$x = a + \frac{b-a}{3} = \frac{2a+b}{3}$

$y = a + 2\frac{b-a}{3} = \frac{a+2b}{3}$

$x+y = \frac{2a+b}{3} + \frac{a+2b}{3} = \frac{3a+3b}{3} = a+b$

次に、$a, u, v, b$ が等比数列であることから、$u$ と $v$ を $a$ と $b$ で表す。

等比数列なので、公比を $r$ とすると、

$u = ar$

$v = ar^2$

$b = ar^3$

したがって、$r^3 = \frac{b}{a}$ となる。

$r = \sqrt[3]{\frac{b}{a}}$

$u = a\sqrt[3]{\frac{b}{a}} = a^{2/3}b^{1/3}$

$v = a(\sqrt[3]{\frac{b}{a}})^2 = a(\frac{b}{a})^{2/3} = a^{1/3}b^{2/3}$

$u+v = a^{2/3}b^{1/3} + a^{1/3}b^{2/3} = a^{1/3}b^{1/3}(a^{1/3}+b^{1/3})$

$x+y$ と $u+v$ の大小を比較するために、$x+y - (u+v)$ を計算する。

$x+y - (u+v) = a+b - (a^{2/3}b^{1/3} + a^{1/3}b^{2/3})$

$a,b$ は異なる正の数なので相加相乗平均の関係より

$\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$ が成り立つ。

ここで、$a^{1/3}$ と $b^{1/3}$ について相加相乗平均の関係を適用すると、

$\frac{a^{2/3}b^{1/3} + a^{1/3}b^{2/3}}{2} \ge \sqrt{a^{2/3}b^{1/3}a^{1/3}b^{2/3}} = \sqrt{ab}$

$a^{2/3}b^{1/3} + a^{1/3}b^{2/3} \ge 2\sqrt{ab}$

一方、$a+b-a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{3}}-a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{2}{3}}$ の正負を考えたい。

$a^{\frac{1}{3}}=A$, $b^{\frac{1}{3}}=B$とおくと

$A^3+B^3-A^2B-AB^2= (A^3-A^2B)+(B^3-AB^2) = A^2(A-B)+B^2(B-A) = A^2(A-B)-B^2(A-B) = (A^2-B^2)(A-B) = (A-B)^2(A+B)$

ここで、$A,B>0$より$(A+B)>0$であり、題意より$a \ne b$であるから$A\ne B$なので $(A-B)^2>0$

したがって$(A-B)^2(A+B)>0$

よって、$a+b > a^{2/3}b^{1/3} + a^{1/3}b^{2/3}$

すなわち、$x+y > u+v$

3. 最終的な答え

$x+y > u+v$