問題は、次の数列 $\{a_n\}$ の第 $n$ 項 $a_n$ を $n$ の式で表し、初めの $n$ 項の和 $S_n$ を求める問題です。 (1) 数列 $\{a_n\}$ は等比数列であり、$a_2 = 32$、$a_6 = 2$ です。 (2) $a_1 = 1$、$a_2 = 11$、$a_3 = 111$、$a_4 = 1111$、... です。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

問題は、次の数列 $\{a_n\}$ の第 $n$ 項 $a_n$ を $n$ の式で表し、初めの $n$ 項の和 $S_n$ を求める問題です。

(1) 数列 $\{a_n\}$ は等比数列であり、$a_2 = 32$、$a_6 = 2$ です。

(2) $a_1 = 1$、$a_2 = 11$、$a_3 = 111$、$a_4 = 1111$、... です。

2. 解き方の手順

(1) 等比数列の場合

等比数列の一般項は $a_n = ar^{n-1}$ で表されます。ここで、$a$ は初項、$r$ は公比です。

$a_2 = ar = 32$

$a_6 = ar^5 = 2$

これらの式から $r$ と $a$ を求めます。$ar^5 / ar = 2/32$ なので、$r^4 = 1/16$ となります。したがって、$r = \pm 1/2$ です。

$r = 1/2$ の場合、$a = 32 / (1/2) = 64$ となります。

$r = -1/2$ の場合、$a = 32 / (-1/2) = -64$ となります。

したがって、$a_n$ は次のようになります。

$a_n = 64 \cdot (1/2)^{n-1} = 2^{6} \cdot 2^{1-n} = 2^{7-n}$

または

$a_n = -64 \cdot (-1/2)^{n-1} = -2^{6} \cdot (-1)^{n-1} \cdot 2^{1-n} = (-1)^{n} \cdot 2^{7-n}$

次に、和 $S_n$ を求めます。

$r=1/2$ のとき、

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r} = \frac{64(1-(1/2)^n)}{1-1/2} = 128(1-(1/2)^n) = 128 - 128 \cdot (1/2)^n = 128 - 2^{7-n}$.

$r=-1/2$ のとき、

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r} = \frac{-64(1-(-1/2)^n)}{1-(-1/2)} = -\frac{128}{3}(1-(-1/2)^n) = -\frac{128}{3} + \frac{128}{3}(-1/2)^n = -\frac{128}{3} + \frac{128}{3}(-1)^n(1/2)^n$.

(2) $a_1 = 1$、$a_2 = 11$、$a_3 = 111$、$a_4 = 1111$、... の場合

$a_n$ は $n$ 個の 1 が並んだ数なので、$a_n = \sum_{k=0}^{n-1} 10^k = \frac{10^n - 1}{10-1} = \frac{10^n - 1}{9}$ となります。

次に、$S_n$ を求めます。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{10^k - 1}{9} = \frac{1}{9} \sum_{k=1}^{n} (10^k - 1) = \frac{1}{9} \left( \sum_{k=1}^{n} 10^k - \sum_{k=1}^{n} 1 \right)$

$\sum_{k=1}^{n} 10^k = \frac{10(10^n - 1)}{10-1} = \frac{10(10^n - 1)}{9}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

したがって、$S_n = \frac{1}{9} \left( \frac{10(10^n - 1)}{9} - n \right) = \frac{10(10^n - 1) - 9n}{81} = \frac{10^{n+1} - 10 - 9n}{81}$.

3. 最終的な答え

(1) 等比数列の場合

$r=1/2$ のとき、$a_n = 2^{7-n}$, $S_n = 128 - 2^{7-n}$.

$r=-1/2$ のとき、$a_n = (-1)^n \cdot 2^{7-n}$, $S_n = -\frac{128}{3} + \frac{128}{3}(-1)^n(1/2)^n$.

(2) $a_1 = 1$、$a_2 = 11$、$a_3 = 111$、$a_4 = 1111$、... の場合

$a_n = \frac{10^n - 1}{9}$

$S_n = \frac{10^{n+1} - 10 - 9n}{81}$