(1) 等式 $(x+3)(ax-b)-3c = 2x^2 + 7x - 3$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c$ の値を求めよ。 (2) 等式 $(a-b-4)x + (a+2b-1) = 0$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 等式 $(x+3)(ax-b)-3c = 2x^2 + 7x - 3$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c$ の値を求めよ。

(2) 等式 $(a-b-4)x + (a+2b-1) = 0$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

与えられた等式の左辺を展開して整理する。

$(x+3)(ax-b)-3c = ax^2 - bx + 3ax - 3b - 3c = ax^2 + (3a-b)x - 3b - 3c$

これが $2x^2 + 7x - 3$ と恒等式であるから、各項の係数を比較して以下の式を得る。

$a = 2$

$3a-b = 7$

$-3b-3c = -3$

$a=2$ を $3a-b=7$ に代入して $6-b=7$ より $b=-1$

$b=-1$ を $-3b-3c=-3$ に代入して $3-3c=-3$ より $-3c=-6$ よって $c=2$

(2)

与えられた等式 $(a-b-4)x + (a+2b-1) = 0$ が $x$ についての恒等式となるためには、

$a-b-4 = 0$

$a+2b-1 = 0$

という連立方程式が成り立つ必要がある。

一つ目の式より $a = b+4$

これを二つ目の式に代入すると $(b+4)+2b-1=0$

$3b+3=0$ より $b=-1$

$a=b+4$ に $b=-1$ を代入すると $a=-1+4=3$

3. 最終的な答え

(1) $a=2, b=-1, c=2$

(2) $a=3, b=-1$