与えられた5x5行列 $M$ の行列式 $det(M)$ を求める問題です。 $M = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 & 3 & 0 \\ -1 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -3 & 2 \\ 0 & -3 & -2 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた5x5行列 $M$ の行列式 $det(M)$ を求める問題です。

$M = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 & 3 & 0 \\ -1 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -3 & 2 \\ 0 & -3 & -2 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、まずは2列目で展開します。

$det(M) = 0 \cdot C_{12} + 0 \cdot C_{22} + 2 \cdot C_{32} + 0 \cdot C_{42} + (-3) \cdot C_{52}$

ここで、$C_{ij}$ は $(i, j)$ 成分の余因子を表します。

したがって、

$det(M) = 2 \cdot C_{32} - 3 \cdot C_{52}$

$C_{32} = (-1)^{3+2} \cdot det(M_{32}) = -det(M_{32})$

$C_{52} = (-1)^{5+2} \cdot det(M_{52}) = -det(M_{52})$

$M_{32} = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 3 & 0 \\ -1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & 2 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

$M_{52} = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 3 & 0 \\ -1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$

$det(M_{32})$を計算します。4行目で展開します。

$det(M_{32}) = 0 + 0 + (-2) \cdot (-1)^{4+2} \cdot det \begin{bmatrix} 3 & 3 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 2 \end{bmatrix} = -2 \cdot 2 \cdot det \begin{bmatrix} 3 & 3 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} = -4 \cdot (3 \cdot 0 - 3 \cdot (-1)) = -4 \cdot 3 = -12$

よって、$C_{32} = -(-12) = 12$

$det(M_{52})$を計算します。これは上三角行列なので、対角成分の積になります。

$det(M_{52}) = 3 \cdot 3 \cdot (-3) \cdot (-1) = 27$

よって、$C_{52} = -27$

$det(M) = 2 \cdot C_{32} - 3 \cdot C_{52} = 2 \cdot 12 - 3 \cdot (-27) = 24 + 81 = 105$

3. 最終的な答え

105