与えられた行列 $M$ の行列式 $det(M)$ を求める問題です。 $M = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 & 3 & 0 \\ -1 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -3 & 2 \\ 0 & -3 & -2 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列 $M$ の行列式 $det(M)$ を求める問題です。

$M = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 & 3 & 0 \\ -1 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -3 & 2 \\ 0 & -3 & -2 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、行列のいくつかの行または列に沿って余因子展開を使用します。

1行目を基準に余因子展開します。

$det(M) = 3 \cdot det \begin{bmatrix} 0 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -3 & 2 \\ -3 & -2 & 0 & 0 \end{bmatrix} + 3 \cdot (-1)^{1+4} \cdot det \begin{bmatrix} -1 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & -3 & -2 & 0 \end{bmatrix}$

まず、$A = \begin{bmatrix} 0 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -3 & 2 \\ -3 & -2 & 0 & 0 \end{bmatrix}$の行列式を計算します。

1行目を基準に余因子展開します。

$det(A) = 0 - 3 \cdot det \begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 0 & -3 & 2 \\ -3 & 0 & 0 \end{bmatrix} + 0 - 0$

$det(A) = -3 \cdot (-3) \cdot det \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 0 \end{bmatrix} = 9 \cdot (0 - 3) = -27$

次に、$B = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & -3 & -2 & 0 \end{bmatrix}$の行列式を計算します。

1列目を基準に余因子展開します。

$det(B) = -1 \cdot det \begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 2 \\ -3 & -2 & 0 \end{bmatrix}$

$det(B) = -1 \cdot (2 \cdot det \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{bmatrix} - 1 \cdot det \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ -3 & -2 \end{bmatrix}) = -1 \cdot (2 \cdot (0 - (-4)) - 1 \cdot (0 - 0)) = -1 \cdot (2 \cdot 4) = -8$

$det(M) = 3 \cdot det(A) - 3 \cdot det(B) = 3 \cdot (-27) - 3 \cdot (-8) = -81 + 24 = -57$

3. 最終的な答え

-57