問題2について、以下の問いに答えます。 (1) $ \frac{2}{3-\sqrt{7}} $ の整数部分を$a$、小数部分を$b$とするとき、以下の値を求めます。 ① $a, b$の値 ② $ab^2+b^3-2ab-b^2-2b$の値 (2) $x+y=\sqrt{6}, xy=\frac{3}{2}$とするとき、以下の値を求めます。 ① $x^2 + y^2, x^3+y^3$の値 ② $x, y$の値

はい、承知いたしました。以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

問題2について、以下の問いに答えます。

(1) $\frac{2}{3-\sqrt{7}}$ の整数部分を$a$、小数部分を$b$とするとき、以下の値を求めます。

① $a, b$の値

② $ab^2+b^3-2ab-b^2-2b$の値

(2) $x+y=\sqrt{6}, xy=\frac{3}{2}$とするとき、以下の値を求めます。

① $x^2 + y^2, x^3+y^3$の値

② $x, y$の値

2. 解き方の手順

(1)

① まず、$\frac{2}{3-\sqrt{7}}$ を有理化します。

$\frac{2}{3-\sqrt{7}} = \frac{2(3+\sqrt{7})}{(3-\sqrt{7})(3+\sqrt{7})} = \frac{2(3+\sqrt{7})}{9-7} = \frac{2(3+\sqrt{7})}{2} = 3+\sqrt{7}$

ここで、$\sqrt{7}$の範囲を考えます。$2 < \sqrt{7} < 3$ なので、$3 + 2 < 3 + \sqrt{7} < 3 + 3$となり、$5 < 3+\sqrt{7} < 6$です。

よって、$a=5$となり、$b = (3+\sqrt{7}) - 5 = \sqrt{7}-2$となります。

② $ab^2+b^3-2ab-b^2-2b$を因数分解します。

$ab^2+b^3-2ab-b^2-2b = b(ab + b^2 - 2a - b - 2) = b(b(a+b) - 2(a+1) - b)$

$a=5, b=\sqrt{7}-2$を代入します。

$a+b = 5 + \sqrt{7} - 2 = 3 + \sqrt{7}$

$b(ab + b^2 - 2ab - b - 2) = b(b^2-2b+ab-2a-2) = b^2(b-1)-2a-2 = (\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}-1)b-2(5)-2$

式を整理します。

$ab^2+b^3-2ab-b^2-2b = b(ab+b^2-2a-b-2) = b[b(a+b) -2(a+1)-b] = (\sqrt{7}-2)[(\sqrt{7}-2)(5+\sqrt{7}) - 2(5+1) - (\sqrt{7}-2)] = (\sqrt{7}-2)[(5\sqrt{7}+7-10-2\sqrt{7}) -12 - \sqrt{7}+2] = (\sqrt{7}-2)[3\sqrt{7}-5-12-\sqrt{7}+2] = (\sqrt{7}-2)(2\sqrt{7}-15) = 14-15\sqrt{7}-4\sqrt{7}+30 = 44-19\sqrt{7}$

しかし、$ab^2+b^3-2ab-b^2-2b= ab^2 - 2ab + b^3 - b^2 - 2b = b(ab-2a+b^2-b-2) = b[(a+b)b - 2(a+1) -b]$

$= b[(5 + (\sqrt{7}-2))(\sqrt{7}-2)-2(6)-(\sqrt{7}-2)] = b[(3 + \sqrt{7})(\sqrt{7}-2) - 12 - \sqrt{7} +2] = b[3\sqrt{7}-6+7-2\sqrt{7} -10 -\sqrt{7}] = b[0\sqrt{7}-9] = -9b = -9(\sqrt{7}-2) = -9\sqrt{7}+18 = 18-9\sqrt{7}$

(2)

① $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = (\sqrt{6})^2 - 2 \cdot \frac{3}{2} = 6 - 3 = 3$

$x^3 + y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2) = (x+y)((x+y)^2-3xy) = \sqrt{6} ((\sqrt{6})^2 - 3 \cdot \frac{3}{2}) = \sqrt{6} (6 - \frac{9}{2}) = \sqrt{6} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3\sqrt{6}}{2}$

② $x, y$は、$t^2 - (x+y)t + xy = 0$の解なので、$t^2 - \sqrt{6}t + \frac{3}{2} = 0$

$2t^2 - 2\sqrt{6}t + 3 = 0$

$t = \frac{2\sqrt{6} \pm \sqrt{(2\sqrt{6})^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} = \frac{2\sqrt{6} \pm \sqrt{24-24}}{4} = \frac{2\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{6}}{2}$

よって、$x = y = \frac{\sqrt{6}}{2}$

3. 最終的な答え

(1)

① $a=5, b = \sqrt{7}-2$

② $18-9\sqrt{7}$

(2)

① $x^2 + y^2 = 3$, $x^3 + y^3 = \frac{3\sqrt{6}}{2}$

② $x = y = \frac{\sqrt{6}}{2}$