与えられた式 $12a^3 - 243a$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $12a^3 - 243a$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、共通因数でくくり出します。$12$ と $243$ の最大公約数は $3$ であり、両方の項に $a$ が含まれているので、$3a$ でくくり出すことができます。

$12a^3 - 243a = 3a(4a^2 - 81)$

次に、括弧の中の式 $4a^2 - 81$ が二乗の差の形になっていることに注目します。

$4a^2$ は $(2a)^2$ であり、$81$ は $9^2$ です。

したがって、$4a^2 - 81$ は $(2a)^2 - 9^2$ と書けます。

二乗の差の公式 $x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$ を利用すると、

$(2a)^2 - 9^2 = (2a + 9)(2a - 9)$

したがって、$12a^3 - 243a$ は次のように因数分解できます。

$12a^3 - 243a = 3a(4a^2 - 81) = 3a(2a + 9)(2a - 9)$

3. 最終的な答え

$3a(2a+9)(2a-9)$