2つの自然数 $x$ と $y$ があり、$x < y$ である。これらの数の最大公約数は 8 で、最小公倍数は 360 である。このとき、$x + y$ の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

2つの自然数 $x$ と $y$ があり、$x < y$ である。これらの数の最大公約数は 8 で、最小公倍数は 360 である。このとき、$x + y$ の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

$x$ と $y$ の最大公約数が 8 であるから、$x = 8a$, $y = 8b$ と表せる。ただし、$a$ と $b$ は互いに素な自然数で、$a < b$ である。

$x$ と $y$ の最小公倍数は 360 であるから、$8ab = 360$ が成り立つ。

この式から、$ab = \frac{360}{8} = 45$ が得られる。

$a$ と $b$ は互いに素であるから、$ab = 45$ を満たす組み合わせを考える。

$45 = 1 \times 45 = 3 \times 15 = 5 \times 9$

$a < b$ かつ、$a$と$b$が互いに素という条件を満たすものは、

$(a, b) = (1, 45)$ または $(a, b) = (5, 9)$ である。

(1) $(a, b) = (1, 45)$ のとき、$x = 8 \times 1 = 8$, $y = 8 \times 45 = 360$, $x + y = 8 + 360 = 368$

(2) $(a, b) = (5, 9)$ のとき、$x = 8 \times 5 = 40$, $y = 8 \times 9 = 72$, $x + y = 40 + 72 = 112$

$x + y$ の最小値は 112 である。

3. 最終的な答え

112