長さ2mの棒ABを、観測地点Pから眺めているときの模式図が与えられています。点MはABの中点であり、PはABの垂直二等分線上にあるとします。以下の3つの問いに答えます。 (1) 点Pから線分ABまでの距離PMが2mのとき、$tan \angle ABP$ の値を求めます。 (2) 点Pから点Aまでの距離PAが4mのとき、$sin \angle APB$ の値を求めます。 (3) $\angle APB = 30^{\circ}$ のとき、点Pから線分ABまでの距離PMを求めます。

1. 問題の内容

長さ2mの棒ABを、観測地点Pから眺めているときの模式図が与えられています。点MはABの中点であり、PはABの垂直二等分線上にあるとします。以下の3つの問いに答えます。

(1) 点Pから線分ABまでの距離PMが2mのとき、$tan \angle ABP$ の値を求めます。

(2) 点Pから点Aまでの距離PAが4mのとき、$sin \angle APB$ の値を求めます。

(3) $\angle APB = 30^{\circ}$ のとき、点Pから線分ABまでの距離PMを求めます。

2. 解き方の手順

(1) PM = 2m、AB = 2mなので、MB = AB/2 = 1mです。したがって、直角三角形PMBにおいて、$tan \angle ABP = \frac{PM}{MB} = \frac{2}{1} = 2$です。

(2) PA = 4mで、PMはABの垂直二等分線なので、AM = AB/2 = 1mです。直角三角形PMAにおいて、$PM = \sqrt{PA^2 - AM^2} = \sqrt{4^2 - 1^2} = \sqrt{16-1} = \sqrt{15}$です。

$\angle APM = \theta$とすると、$sin \theta = \frac{AM}{AP} = \frac{1}{4}$です。

$\angle APB = 2\theta$なので、$sin \angle APB = sin 2\theta = 2sin\theta cos\theta$です。

$cos\theta = \sqrt{1 - sin^2\theta} = \sqrt{1 - (\frac{1}{4})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$

したがって、$sin \angle APB = 2 \times \frac{1}{4} \times \frac{\sqrt{15}}{4} = \frac{\sqrt{15}}{8}$です。

(3) $\angle APB = 30^{\circ}$なので、$\angle APM = \frac{30^{\circ}}{2} = 15^{\circ}$です。

$\angle APM = 15^{\circ}$とすると、$tan 15^{\circ} = 2 - \sqrt{3}$となります。

$MB = 1m$なので、$tan 15^{\circ} = \frac{MB}{PM} = \frac{1}{PM}$です。

したがって、$PM = \frac{1}{tan 15^{\circ}} = \frac{1}{2 - \sqrt{3}} = \frac{2 + \sqrt{3}}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 + \sqrt{3}$です。

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) $\frac{\sqrt{15}}{8}$

(3) $2 + \sqrt{3}$