$x > 1$ のとき、三角形ABCの各辺の長さが $AB = x - 1$, $BC = x^2 - x$, $CA = x + 1$ で与えられています。 (1) $x$ のとり得る値の範囲を求めよ。 (2) $\angle B$ と $\angle C$ の大小関係を決定せよ。

1. 問題の内容

$x > 1$ のとき、三角形ABCの各辺の長さが $AB = x - 1$, $BC = x^2 - x$, $CA = x + 1$ で与えられています。

(1) $x$ のとり得る値の範囲を求めよ。

(2) $\angle B$ と $\angle C$ の大小関係を決定せよ。

2. 解き方の手順

(1) 三角形が成立するための条件は、任意の2辺の長さの和が残りの1辺の長さよりも大きいことです。したがって、以下の3つの不等式が成り立つ必要があります。

* $AB + BC > CA$

* $BC + CA > AB$

* $CA + AB > BC$

それぞれの不等式に各辺の長さを代入して、$x$ について解きます。

まず、$AB + BC > CA$ について：

$(x - 1) + (x^2 - x) > x + 1$

$x - 1 + x^2 - x > x + 1$

$x^2 > x + 2$

$x^2 - x - 2 > 0$

$(x - 2)(x + 1) > 0$

$x < -1$ または $x > 2$

次に、$BC + CA > AB$ について：

$(x^2 - x) + (x + 1) > x - 1$

$x^2 - x + x + 1 > x - 1$

$x^2 + 1 > x - 1$

$x^2 - x + 2 > 0$

判別式 $D = (-1)^2 - 4(1)(2) = 1 - 8 = -7 < 0$ より、この不等式はすべての実数 $x$ に対して成立します。

最後に、$CA + AB > BC$ について：

$(x + 1) + (x - 1) > x^2 - x$

$2x > x^2 - x$

$x^2 - 3x < 0$

$x(x - 3) < 0$

$0 < x < 3$

以上の結果と $x > 1$ を考慮すると、$x$ は $x > 2$ かつ $0 < x < 3$ を満たす必要があります。したがって、$2 < x < 3$ が得られます。

(2) 角の大小関係は、対応する辺の長さによって決定されます。

$BC = x^2 - x$ と $CA = x + 1$ の大小を比較します。

$x^2 - x - (x + 1) = x^2 - 2x - 1$

$x^2 - 2x - 1 = (x - 1)^2 - 2$

$2 < x < 3$ の範囲で $BC - CA = (x - 1)^2 - 2$ の符号を調べます。

$x = 2$ のとき $(x-1)^2 - 2 = (2-1)^2 - 2 = 1 - 2 = -1 < 0$

$x = 3$ のとき $(x-1)^2 - 2 = (3-1)^2 - 2 = 4 - 2 = 2 > 0$

$BC - CA = 0$ となるのは $(x-1)^2 - 2 = 0$ つまり $x = 1 + \sqrt{2}$ の時です。

$2 < x < 3$ の範囲では $1+\sqrt{2} \approx 2.414$ であり、

$2 < x < 1 + \sqrt{2}$ のとき、$BC < CA$ となり、$\angle B > \angle C$

$1 + \sqrt{2} < x < 3$ のとき、$BC > CA$ となり、$\angle B < \angle C$

$AB = x - 1$, $BC = x^2 - x$, $CA = x + 1$

$BC - AB = x^2 - x - (x-1) = x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2 > 0$, よって $BC > AB$, したがって $\angle A > \angle C$

$CA - AB = x+1 - (x-1) = 2 > 0$, よって $CA > AB$, したがって $\angle B > \angle C$

3. 最終的な答え

(1) $2 < x < 3$

(2) $\angle B > \angle C$