放物線 $y = \frac{1}{4}x^2$ 上の点A, Bがあり、それぞれのx座標は-8, 4である。このとき、$\triangle AOB = \triangle APB$となるような点Pの座標を求める。ただし、点Pは原点Oとは異なる。

1. 問題の内容

放物線 $y = \frac{1}{4}x^2$ 上の点A, Bがあり、それぞれのx座標は-8, 4である。このとき、$\triangle AOB = \triangle APB$となるような点Pの座標を求める。ただし、点Pは原点Oとは異なる。

2. 解き方の手順

$\triangle AOB = \triangle APB$となるためには、ABに平行な直線上にPが存在する必要がある。

1. 点A, Bの座標を求める。

$A(-8, \frac{1}{4}(-8)^2) = A(-8, 16)$

$B(4, \frac{1}{4}(4)^2) = B(4, 4)$

2. 直線ABの傾きを求める。

$傾き = \frac{16-4}{-8-4} = \frac{12}{-12} = -1$

3. 原点Oを通り直線ABに平行な直線の方程式を求める。

$y = -x$

4. 放物線 $y = \frac{1}{4}x^2$ と直線 $y = -x$ の交点を求める。

$\frac{1}{4}x^2 = -x$

$x^2 = -4x$

$x^2 + 4x = 0$

$x(x+4) = 0$

$x = 0, -4$

$x = 0$ は原点なので、$x = -4$

$y = -(-4) = 4$

したがって、点Pの座標は $(-4, 4)$

3. 最終的な答え

P(-4, 4)