三角形OABにおいて、辺OBの中点をM、辺ABを1:2に内分する点をC、辺OAを2:3に内分する点をDとする。2つの線分CMとBDの交点をPとし、直線OPと辺ABの交点をQとする。 (1) $\vec{OM}, \vec{OD}, \vec{OC}$をそれぞれ$\vec{OA}, \vec{OB}$を用いて表す。 (2) $\vec{OP}$を$\vec{OA}, \vec{OB}$を用いて表す。 (3) $\vec{OQ}$を$\vec{OA}, \vec{OB}$を用いて表す。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、辺OBの中点をM、辺ABを1:2に内分する点をC、辺OAを2:3に内分する点をDとする。2つの線分CMとBDの交点をPとし、直線OPと辺ABの交点をQとする。

(1) $\vec{OM}, \vec{OD}, \vec{OC}$をそれぞれ$\vec{OA}, \vec{OB}$を用いて表す。

(2) $\vec{OP}$を$\vec{OA}, \vec{OB}$を用いて表す。

(3) $\vec{OQ}$を$\vec{OA}, \vec{OB}$を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1)

$\vec{OM}$はOBの中点なので、

$\vec{OM} = \frac{1}{2}\vec{OB}$

$\vec{OD}$はOAを2:3に内分するので、

$\vec{OD} = \frac{2}{5}\vec{OA}$

$\vec{OC}$はABを1:2に内分するので、

$\vec{OC} = \frac{2\vec{OA} + \vec{OB}}{1+2} = \frac{2}{3}\vec{OA} + \frac{1}{3}\vec{OB}$

(2)

点Pは線分CM上にあるので、$s$を用いて

$\vec{OP} = (1-s)\vec{OC} + s\vec{OM} = (1-s)(\frac{2}{3}\vec{OA} + \frac{1}{3}\vec{OB}) + s(\frac{1}{2}\vec{OB}) = \frac{2(1-s)}{3}\vec{OA} + (\frac{1-s}{3} + \frac{s}{2})\vec{OB}$

$\vec{OP} = \frac{2-2s}{3}\vec{OA} + \frac{2-2s+3s}{6}\vec{OB} = \frac{2-2s}{3}\vec{OA} + \frac{2+s}{6}\vec{OB}$

点Pは線分BD上にあるので、$t$を用いて

$\vec{OP} = (1-t)\vec{OB} + t\vec{OD} = (1-t)\vec{OB} + t(\frac{2}{5}\vec{OA}) = \frac{2t}{5}\vec{OA} + (1-t)\vec{OB}$

$\vec{OA}$と$\vec{OB}$は一次独立なので、

$\frac{2-2s}{3} = \frac{2t}{5}$

$\frac{2+s}{6} = 1-t$

$10-10s = 6t$

$2+s = 6-6t$

$6t = 10-10s$

$6t = 4-s$

$10-10s = 4-s$

$6 = 9s$

$s = \frac{2}{3}$

$6t = 4 - \frac{2}{3} = \frac{10}{3}$

$t = \frac{5}{9}$

よって、

$\vec{OP} = \frac{2(\frac{5}{9})}{5}\vec{OA} + (1-\frac{5}{9})\vec{OB} = \frac{2}{9}\vec{OA} + \frac{4}{9}\vec{OB}$

(3)

点Qは線分AB上にあるので、実数$k$を用いて、

$\vec{OQ} = (1-k)\vec{OA} + k\vec{OB}$

点Qは直線OP上にあるので、実数$l$を用いて、

$\vec{OQ} = l\vec{OP} = l(\frac{2}{9}\vec{OA} + \frac{4}{9}\vec{OB}) = \frac{2l}{9}\vec{OA} + \frac{4l}{9}\vec{OB}$

$\vec{OA}$と$\vec{OB}$は一次独立なので、

$1-k = \frac{2l}{9}$

$k = \frac{4l}{9}$

$1 = \frac{2l}{9} + \frac{4l}{9} = \frac{6l}{9} = \frac{2l}{3}$

$l = \frac{3}{2}$

$\vec{OQ} = \frac{2}{9} * \frac{3}{2}\vec{OA} + \frac{4}{9} * \frac{3}{2}\vec{OB} = \frac{1}{3}\vec{OA} + \frac{2}{3}\vec{OB}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{OM} = \frac{1}{2}\vec{OB}$, $\vec{OD} = \frac{2}{5}\vec{OA}$, $\vec{OC} = \frac{2}{3}\vec{OA} + \frac{1}{3}\vec{OB}$

(2) $\vec{OP} = \frac{2}{9}\vec{OA} + \frac{4}{9}\vec{OB}$

(3) $\vec{OQ} = \frac{1}{3}\vec{OA} + \frac{2}{3}\vec{OB}$