$xy$平面上の2直線 $y = x + 4\sin\theta + 1$ $y = -x + 4\cos\theta - 3$ の交点を$P$とする。 (1) $\theta = \frac{\pi}{12}$ のとき、点$P$の座標を求める。 (2) $\theta$が実数全体を動くとき、点$P$の軌跡の方程式を求める。

1. 問題の内容

$xy$平面上の2直線

$y = x + 4\sin\theta + 1$

$y = -x + 4\cos\theta - 3$

の交点を$P$とする。

(1) $\theta = \frac{\pi}{12}$ のとき、点$P$の座標を求める。

(2) $\theta$が実数全体を動くとき、点$P$の軌跡の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\theta = \frac{\pi}{12}$をそれぞれの直線の方程式に代入する。

$y = x + 4\sin(\frac{\pi}{12}) + 1$

$y = -x + 4\cos(\frac{\pi}{12}) - 3$

$\sin(\frac{\pi}{12}) = \sin(15^\circ) = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

$\cos(\frac{\pi}{12}) = \cos(15^\circ) = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

よって、2つの直線の方程式は

$y = x + \sqrt{6} - \sqrt{2} + 1$

$y = -x + \sqrt{6} + \sqrt{2} - 3$

これらを連立して解く。

$x + \sqrt{6} - \sqrt{2} + 1 = -x + \sqrt{6} + \sqrt{2} - 3$

$2x = 2\sqrt{2} - 4$

$x = \sqrt{2} - 2$

$y = (\sqrt{2} - 2) + \sqrt{6} - \sqrt{2} + 1 = \sqrt{6} - 1$

したがって、点Pの座標は$(\sqrt{2} - 2, \sqrt{6} - 1)$

(2) 2つの直線の方程式を足すと

$2y = x - x + 4\sin\theta + 4\cos\theta + 1 - 3$

$2y = 4\sin\theta + 4\cos\theta - 2$

$y = 2\sin\theta + 2\cos\theta - 1$

2つの直線の方程式を引くと

$0 = 2x + 4\sin\theta - 4\cos\theta + 4$

$-2x = 4\sin\theta - 4\cos\theta + 4$

$-x = 2\sin\theta - 2\cos\theta + 2$

$x = -2\sin\theta + 2\cos\theta - 2$

$x + 2 = -2\sin\theta + 2\cos\theta$

$y + 1 = 2\sin\theta + 2\cos\theta$

$(x+2)^2 + (y+1)^2 = (-2\sin\theta + 2\cos\theta)^2 + (2\sin\theta + 2\cos\theta)^2$

$= 4(\sin^2\theta - 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta) + 4(\sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta)$

$= 4(1 - 2\sin\theta\cos\theta) + 4(1 + 2\sin\theta\cos\theta) = 8$

$(x+2)^2 + (y+1)^2 = 8$

3. 最終的な答え

(1) $(\sqrt{2} - 2, \sqrt{6} - 1)$

(2) $(x+2)^2 + (y+1)^2 = 8$